函数与方程高考真题解析专题，共 482 道真题，覆盖 17 个年份、233 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．
20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）
4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5}=S_{10}, a_{5}=1$ ，则 $a_{1}=$
4．下列函数是偶函数的是
5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）
14．在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点，$C E=\frac{1}{2} D E, \stackrel{\operatorname{ur}}{B E}=\lambda B A+\mu B C$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\_\_\_\_$ ；若 $F$ 为线段 $B E$ 上的动点，$G$ 为 $A F$ 中点，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{D G}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
16．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos B=\frac{9}{16}, b=5, \frac{a}{c}=\frac{2}{3}$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）求 $\sin A$ ；
（3）求 $\cos (B-2 A)$ ．
18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）
12．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}+a_{4}=7,3 a_{2}+a_{5}=5$ ，则 $S_{10}=$
16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．
17．设函数 $f(x)=\sin \omega x \cos \varphi+\cos \omega x \sin \varphi\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）若 $f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\varphi$ 的值．
（2）已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega, \varphi$ 的值．
条件①：$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$ ；
条件②：$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ；
条件③：$f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减。
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathrm{R}$ ，则 $a=$
5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30
10．已知 $f(x)$ 为函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位所得函数，则 $y=f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的交点个数为
20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．
21．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点，且 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．
15．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{2} a_{4} a_{5}=a_{3} a_{6}, a_{9} a_{10}=-8$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．
5．已知 $f(x)=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{a x}-1}$ 是偶函数，则 $a=$
10．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$
18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2}=11, S_{10}=40$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）
12．过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 于点 $P$ ，若 $|O P|=8$ ，则 $p$的值为 $\_\_\_\_$ ．
15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．
5．设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1), C_{2}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ．若 $e_{2}=\sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a=()$
20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，且 $d>1$ ．令 $b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）若 $3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$ ，求 $d$ ．
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．
（1）求 $W$ 的方程；
（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．
11．若函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}(a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（ ）。
19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$ ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 $p(c)=0.5 \%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$ ；
②设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$ ，当 $c \in[95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值。
4．己知函数 $f(x)=\frac{1}{1+2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）
19．已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．
17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．
20．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s}\end{array}\right.$（ $s$ 为参数）．
（1）写出 $C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．
18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．
20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线．
（1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ；
（2）求 $a$ 的取值范围．
21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．