坐标法高考真题解析

14.三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt { 2 } , B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$ ，则其底面BCD的面积为体积为

19. 已知 $E \colon { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

(1) 求椭圆方程；

②设O为原点， $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } { \neq } 0 )$ 为椭圆上一点，直线 $x _ { 0 } x + 2 y _ { 0 } y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2 , y = - 2$ 交于A，B. $\triangle { O A M }$ 与△OBM的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$ ,比较 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } \frac { | O A | } { | O B | }$ 的大小.

19．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 4 。

（1） 求椭圆 $E$ 的方程；
② 设 $O$ 为坐标原点，点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，直线 $x_{0} x+2 y_{0} y-4=0$ 与直线 $y=2$ ，

$y=-2$ 分别交于点 $A, B$ ．设 $\triangle O A M$ 与 $\square O B M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{|O A|}{|O B|}$ 的大小．

14. $\triangle A B C$ 中，D为AB边中点， $\overrightarrow { C E } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { C D } , \overrightarrow { A B } = \vec { a } , \overrightarrow { A C } = \vec { b }$ ，则 $\overrightarrow { A E }$ =\_\_(用a,b表示)，若 $| { \overrightarrow { A E } } | =$ 5, $A E \bot C B$ ，则 ${ \overrightarrow { A E } } \cdot { \overrightarrow { C D } } =$

16.（15分）椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，长轴长为4.

（1）求C的方程；

(2）过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若 $S _ { \triangle O A B } = \sqrt { 2 }$ ，求 $\left| A B \right|$

17. （15分）. 如图，四边形ABCD中， $A B \parallel C D$ $\angle D A B = 9 0 ^ { \circ }$ ，F为CD中点，E在AB上， $E F \mid \mid A D \ , A B = 3 A D , C D = 2 A D$ 。将四边形 EFDA 沿 EF翻折至四边形

$E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ ，使得面 $E F D ^ { ' } A$ 与面EFCB所成的二面角为60°

（1）证明： $\dot { A ^ { \prime } } B \parallel$ 平面 $C D ^ { ' } F$

(2) 求面 $B C D '$ 与面 $E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ 所成二面角的正弦值.

6． 设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(P>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，过 $A$ 作 $C$ 准线的垂线，垂足为 $B$ ．若直线 $B F$ 的方程为 $y=-2 x+2$ ，则 $|A F|=$

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

6. 已知双曲线 $C : \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的上、下焦点分别为 $F _ { 1 } ( 0 , 4 ) , F _ { 2 } ( 0 , - 4 )$ ，点 $P \left( - 6 , 4 \right)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

9．已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$ ，则（ ）

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

22．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

6．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

19．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；

②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

3．已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）

5．已知曲线 $C: x^{2}+y^{2}=16(y>0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足，则线段 $P P^{\prime}$的中点 $M$ 的轨迹方程为（ ）

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

19．已知随圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, A , C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B, D$ 分别是 $E$的左、右顶点，$|A C|=4$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
②设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$ ．求证：$M N / / C D$ ．

3．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(2,2)$ ，则 $\cos \langle\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}\rangle=$（）

22．已知点 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{c}x=2+t \cos \alpha, \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ ，且 $|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2}=2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（ ）

18．设随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_{1} F\right|=3,\left|A_{2} F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

3．已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（）

18．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A A_{1}=4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上，$A A_{2}=1, B B_{2}=D D_{2}=2, C C_{2}=3$ 。

（1）证明：$B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；
（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P-A_{2} C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ ．

5．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle F_{1} A B$ 面积是 $\triangle F_{2} A B$ 面积的 2 倍，则 $m=$（ ）．

20．如图，三棱锥 $A-B C D$ 中，$D A=D B=D C, B D \perp C D, \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}, E$ 为 $B C$ 的中点．

（1）证明：$B C \perp D A$ ；
（2）点 $F$ 满足 $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A}$ ，求二面角 $D-A B-F$ 的正弦值．

3．若直线 $2 x+y-1=0$ 是圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=1$ 的一条对称轴，则 $a=$