坐标法高考真题解析

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

12．$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线 $A F$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

14．在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点，$C E=\frac{1}{2} D E, \stackrel{\operatorname{ur}}{B E}=\lambda B A+\mu B C$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\_\_\_\_$ ；若 $F$ 为线段 $B E$ 上的动点，$G$ 为 $A F$ 中点，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{D G}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$

12．己知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1, F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=$

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

13．已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上，则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为 $\_\_\_\_$ ．

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．

（1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；
（2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；
（3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

19．已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．

10．椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s}\end{array}\right.$（ $s$ 为参数）．

（1）写出 $C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

12.

若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 A ，与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点 $B$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(-2,-1)$ ，且 $a=2 b$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程：
（ II）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{|P B|}{|B Q|}$ 的值．

9．（5 分）设向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(-1, m)$ ．若 $\vec{a} \perp(m \vec{a}-\vec{b})$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

10．（5 分）已知直线 $l$ 过点 $(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴．若 1 被抛物线 $y^{2}=4 a x$ 截得的线段长为 4 ，则抛物线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(1,0)$。

20．（14 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．斜率为 k 的直线 $l$ 与椭圆 M 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ．
（I）求椭圆 M 的方程；
（II）若 $\mathrm{k}=1$ ，求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值；
（III）设 $\mathrm{P}(-2,0)$ ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M的另一个交点为 D．若 C，D 和点 Q（ $-\frac{7}{4}, \frac{1}{4}$ ）共线，求 k ．

9．（4分）已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{e}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+3=0$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 的最小值是（）

17．（4 分）已知点 $P(0,1)$ ，椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=m(m>1)$ 上两点 $A, B$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} =2 \overrightarrow{\mathrm{~PB}}$ ，则当 $\mathrm{m}=5$ 时，点 B 横坐标的绝对值最大．

19．（15分）如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}=1, \quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}=2$.
（ I ）证明：$A B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成的角的正弦值．

21．（15 分）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上。
（ I ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（II）若 $P$ 是半椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(x<0)$ 上的动点，求 $\triangle P A B$ 面积的取值范围．