（12）已知双曲线 E 的中心为原点， P(3,0) 是…——2010 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B

【解析】二、填空题

【解答】
（5分）（2010•海南）已知双曲线 E 的中心为原点， $\mathrm{P}(3,0)$ 是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，且 AB 的中点为 $\mathrm{N}(-12,-15)$ ，则 E 的方程式为（）
A．$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$
B．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
C．$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$
D．$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】已知条件易得直线 $l$ 的斜率为 1 ，设双曲线方程，及 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 点坐标代入方程联立相减得 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=-24$ ，根据 $\frac{\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}}=\frac{4 \mathrm{~b}^{2}}{5 \mathrm{a}^{2}}$ ，可求得 a 和 b 的关系，再根据 $\mathrm{c}=3$ ，求得 a 和 b ，进而可得答案。
【解答】解：由已知条件易得直线 $l$ 的斜率为 $k=k_{P N}=1$ ，

设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，
$\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$,
则有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{1}{ }^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}{ }^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{x_{2}{ }^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{2}{ }^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，
两式相减并结合 $x_{1}+x_{2}=-24, ~ y_{1}+y_{2}=-30$ 得
$\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4 b^{2}}{5 a^{2}}$,
从而 $=\frac{4 b^{2}}{5 a^{2}}=1$
即 $4 b^{2}=5 a^{2}$ ，
又 $a^{2}+b^{2}=9$ ，
解得 $a^{2}=4, b^{2}=5$ ，
故选B。
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程。考查了学生综合分析问题和解决问题的能力