已知f ( x ) λ = | x + 1 | λ - |…——2018 高考数学第 23 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式

【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，

> ②当 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 时不等式f $( \textsf { x } ) \ > \textsf { x } ,$ 成立，转化为即 $| \mathsf { a x } - \mathsf { 1 } | < 1$ ，即 $0 < \mathsf { a x } < 2$ ，转化为 $| \mathsf { a } { < } \frac { 2 } { \mathsf { x } }$ ，且 $\mathtt { a } > 0$ ，即可求出a的范围

【解答】解：（1）当a=1时， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) \ = \left| { \bf x } + 1 \right| \ - \ \left| { \bf x } - 1 \right| = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , { \texttt { x } } { > } 1 } & { } \\ { 2 { \texttt { x } } , { \texttt { - } } 1 { \leqslant } { \texttt { x } } { \leqslant } 1 } \\ { - 2 , { \texttt { x } } { < } - 1 } & { } \end{array} \right.$

由f $( \mathsf { x } ) > 1$

$\mathbf { \cdot } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } > 1 } \\ { - 1 \leqslant \mathbf { x } \leqslant 1 } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ { \begin{array} { l } { { 2 > 1 } } \\ { { \mathbf { x } > 1 } } \end{array} } , \right.$

解得 $x > \frac { 1 } { 2 }$

故不等式 $\textsf { f } \left( \mathbf { \boldsymbol { x } } \right) > 1$ 的解集为 $( { \frac { 1 } { 2 } } , \ + \infty )$

> ②当 $\mathbf { \Phi } _ { | \mathbf { x } \in \mathbf { \Phi } } ( 0 , \mathbf { \Phi } _ { 1 } )$ 时不等式f $( \textsf { x } ) \ > \textsf { x }$ 成立，

∴ $\cdot \left| x ^ { + } 1 \right| - \left| a x - 1 \right| - x > 0$

即 $\vert \mathbf { x } + \mathbf { 1 } - \mathbf { \alpha } \vert \mathbf { a x } - 1 \vert - \mathbf { x } > 0$

即 $| \mathsf { a x } - \mathsf { 1 } | < 1$

$\therefore - 1 < \mathsf { a x } - 1 < 1$

∴0＜ax＜2，

$\because x \in \ ( 0 , \ 1 )$

∴a＞0，

∴0 $1 < x < \frac { 2 } { \tt a } ,$

∴a $< \frac { 2 } { \tt x }$

∵ ＞2， x

$\therefore 0 < \mathsf { a } \leq 2 ,$

故a的取值范围为（0，2]

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题