2020_新课标I卷
18.VABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $B { = } 1 5 0 ^ { \circ }$
（1）若 $a { = } { \sqrt { 3 } } c , b { = } 2 { \sqrt { 7 } }$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\mathrm { s i n } { \cal A } + \sqrt { 3 } \mathrm { s i n } C = \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，求C.
(1) $\sqrt { 3 }$; (2) $1 5 ^ { \circ }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $\sqrt { 3 }$ ；② $1 5 ^ { \circ }$
【解析】
【分析】
<sub>（1）已知角B和b边，结合</sub>a c, <sub>关系，由余弦定理建立</sub>c<sub>的方程，求解得出</sub>a c, <sub>，利用面积</sub>公式，即可得出结论；
（2）将 $A = 3 0 ^ { \circ } - C$ 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
【详解】①由余弦定理可得 $b ^ { 2 } = 2 8 = a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a c \cdot \cos 1 5 0 ^ { \circ } = 7 c ^ { 2 }$
$\therefore c = 2 , a = 2 { \sqrt { 3 } } , \therefore \triangle A B C$ 的面积 $S = { \frac { 1 } { 2 } } a c \sin B = { \sqrt { 3 } }$
> ② $\because A + C = 3 0 ^ { \circ }$
$$ \therefore \sin A + { \sqrt { 3 } } \sin C = \sin ( 3 0 ^ { \circ } - C ) + { \sqrt { 3 } } \sin C $$
$$ = { \frac { 1 } { 2 } } \cos C + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \sin C = \sin ( C + 3 0 ^ { \circ } ) = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , $$
$$ \because 0 ^ { \circ } < C < 3 0 ^ { \circ } , : . 3 0 ^ { \circ } < C + 3 0 ^ { \circ } < 6 0 ^ { \circ } , $$
$$ \therefore C + 3 0 ^ { \circ } = 4 5 ^ { \circ } , \therefore C = 1 5 ^ { \circ } . $$
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.