（12分）（2009•陕西）已知数列 a_ n 满足 a_…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【考点】等比关系的确定；数列递推式。
【专题】等差数列与等比数列。
【分析】（1）先令 $n=1$ 求出 $b_{1}$ ，然后当 $n \geq 2$ 时，求出 $a_{n+1}$ 的通项代入到 $b_{n}$ 中化简可得 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 1 为首项，$-\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列得证；
②由（1）找出 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的通项公式，当 $\mathrm{n} \geq 2$ 时，利用 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\left(\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}\right)+\left(\mathrm{a}_{3}-\mathrm{a}_{2}\right)++\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\right.$ 1）代入并利用等比数列的前 $n$ 项和的公式求出即可得到 $a_{n}$ 的通项，然后 $n=1$ 检验也符合，所以 $n \in N$ ，$a_{n}$ 都成立。
【解答】解：（1）证 $\mathrm{b}_{1}=\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}=1$ ，
当 $n \geq 2$ 时，$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}-a_{n}=-\frac{1}{2}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-\frac{1}{2} b_{n-1}$ ，
所以 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是以 1 为首项，$-\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。
（2）解由（1）知 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=a_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\left(a_{3}-a_{2}\right)++\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=1+1+\left(-\frac{1}{2}\right)+\ldots+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}$
$=1+\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=1+\frac{2}{3}\left[1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，
当 $\mathrm{n}=1$ 时，$\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{1-1}=1=\mathrm{a}_{1}$ ．
所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 。
【点评】考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式。以及会利用等比数列的前 $n$ 项和的公式化简求值。