数列的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数． （1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值； （2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ； （3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ． （1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列； （2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质： （1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ； （2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ． （I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由； （II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。

15．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=\ln 2, a_{2}+a_{3}=5 \ln 2$ ． （I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）求 $e^{a_{1+e}} a_{2+\ldots+e}^{a_{n}}$ ．