数列的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

15．已知 $M=\left\{k \mid a_{k}=b_{k}\right\}, a_{n}, b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是
①$a_{n}, b_{n}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多一个元素；
②$a_{n}, b_{n}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
③$a_{n}$ 为等差数列，$b_{n}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多三个元素；
④$a_{n}$ 单调递增，$b_{n}$ 单调递减，则 $M$ 中最多一个元素．

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}（i）当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i\frac{1}{8}$ ．

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，且 $d>1$ ．令 $b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）若 $3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$ ，求 $d$ ．

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。

15．己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；

（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

20．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=-1$ ，公差 $d>1$ ．记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（1）若 $S_{4}-2 a_{2} a_{3}+6=0$ ，求 $S_{n}$ ；
（2）若对于每个 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，存在实数 $c_{n}$ ，使 $a_{n}+c_{n}, a_{n+1}+4 c_{n}, a_{n+2}+15 c_{n}$ 成等比数列，求 $d$ 的取值范围．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．

19.

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列， $b_{1}=4, b_{3}-b_{2}=48$.

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}+\frac{1}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，
（i）证明 $\left\{c_{n}^{2}-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k+1}}{c_{k}^{2}-c_{2 k}}}<2 \sqrt{2}\left(n \in N^{*}\right)$

19．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ 。已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ ，成等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ ，和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$ ．

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=-\frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
②设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0\left(n \in N^{*}\right)$ ，记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

21．（18分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n} \ldots 0$ ，对任意 $n \ldots 2, ~ a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_{1}=5, ~ a_{2}=3, ~ a_{4}=2$ ，求 $a_{3}$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_{1}=a_{4}=a_{7}=0, ~ a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 为正数，求证：$a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 成等比数列，并求出公比 $q$ ；
（3）已知数列中恰有3项为 0 ，即 $a_{r}=a_{s}=a_{t}=0, ~ 2【思路分析】（1）根据 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项建立等式，然后将 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{4}$ 的值代入即可；
（2）根据递推关系求出 $a_{5} , a_{8}$ ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出 $a_{r+1}, ~ a_{s+1}, ~ a_{t+1}$ 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求

21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}（1）对于前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，可以是 $R_{2}$ 数列吗？说明理由；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。

14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。

16．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$ ，前 16 项和为 540 ，则 $a_{1}=$

16．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为实数，对任意 $n \in \quad \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{n+3}=a_{n}$ ，且行列式 $\quad\left|\begin{array}{cc}a_{n} & a_{n^{+}}{ }_{1} \\ a_{n+2} & a_{n+3}\end{array}\right|=c$ 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）

17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

17．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；
（2）若 $a_{1}=1$ ，求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为＂$\lambda-k$＂数列．
（1）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\lambda-1$＂数列，求 $\lambda$ 的值；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$＂数列，且 $a_{n}>0$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）对于给定的 $\lambda$ ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-$
3＂数列，且 $a_{n} \geq 0$ ？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由，

## 数学 II（附加题）

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

## A．［选修4－2：矩阵与变换］

21．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质：
（1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ；

（2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．
（I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由；
（II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。

7．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{~d}} \leqslant 1$ 。记 $b_{1}=S_{2}, b_{n+1}=S_{n+2}-S_{2 n}, n \in \mathrm{~N} *$ ，下列等式不可能成立的是（ ）

10．设 $a, b \in R$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}=a_{n}{ }^{2}+b, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，则（ ）

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $a_{4}=15$ ，求 $S_{n}$ ；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}<12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$

20．（本小满分 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂M一数列＂。
（1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂ M 一数列＂
（2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$成立，求 $m$ 的最大值．

## 数学 II（附加题）

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}<2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ ．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，$p_{i}(i=0,1, \cdots, 8)$ 表示＂甲药的累计得分为 $i$ 时

，最终认为甲药比乙药更有效＂的概率，则 $p_{0}=0, p_{8}=1, p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1} (i=1,2, \cdots, 7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=0), c=P(X=1)$ 。假设 $\alpha=0.5$ ， $\beta=0.8$.
（i）证明：$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}(i=0,1,2, \cdots, 7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性。

14．已知集合 $A=\left\{x \mid x=2 n-1, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=2^{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ 。将 $A \cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 。记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_{n}>12 a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，＂$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂是＂$\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列＂的

15．（13分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=\ln 2, a_{2}+a_{3}=5 \ln 2$ ．
（I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $e^{a_{1+e}} a_{2+\ldots+e}^{a_{n}}$ ．

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了＂解数学题获取软件激活码＂的活动。这款软

件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4 , 8,1,2,4,8,16, \ldots$ ，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ： $\mathrm{N}>10$ 0 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是（）

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．（13分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right),\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 $0, b_{2}+b_{3}=12, b_{3}=a_{4}-2 a_{1}, S_{11}=11 b_{4}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left(n \in N^{*}\right)$ 。

（19）（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式；
（II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列
$\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．（16 分）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$p$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

20．（13 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，记 $c_{n}=\max \left\{b_{1}-a_{1} n, b_{2}-a_{2} n, \ldots\right.$ ， $\left.b_{n}-a_{n} n\right\} ~(n=1,2,3, \ldots) ~$ 其中 $\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}\right\}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s}$ 这 $s$个数中最大的数．
（1）若 $a_{n}=n, b_{n}=2 n-1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geqslant m$ 时，$\frac{c_{n}}{n}>M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m+1}, c_{m+2}, \ldots$ 是等差数列。

12．（5分）定义＂规范01数列＂$\left\{a_{n}\right\}$ 如下：$\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为 0 ，$m$ 项为 1 ，且对任意 $k \leq 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 $m=4$ ，则不同的＂规范01数列＂共有

15．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$ ，则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 64

17．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1, b_{2}=\frac{1}{3}, a_{n} b_{n+1} +\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{nb}_{\mathrm{n}}$.
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

17．（15分）（2016•浙江）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2}=4, a_{n+1}=2 S_{n}+1, n \in N^{*}$ 。
（I）求通项公式 $a_{n}$ ；
（II）求数列 $\left\{\left|a_{n}-n-2\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和。

17．（12分）$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1}=1, S_{7}=28$ ，记 $b_{n}=\left[\lg a_{n}\right]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[\lg 99]=1$ 。
（I）求 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{11}, \mathrm{~b}_{101}$ ；
（II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和。

18．（12 分）（2016 •山东）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 $\mathrm{n} \in N^{+}, b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 的等比中项。

（1）设 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}{ }_{\mathrm{n}+1}^{2}-\mathrm{b} \frac{2}{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{+}$，求证：数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{d}, \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{2 \mathrm{n}}(-1){ }^{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}^{2}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，求证：$\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{\mathrm{~T}_{\mathrm{k}}}<\frac{1}{2 \mathrm{~d}^{2}}$ ．

19、（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $q>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $a_{2}, a_{3}, a_{2}+a_{3}$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=2$ ，求 $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\cdots+e_{n}^{2}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $1, S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n+1}=q S_{n}+1$ ，其中 $\mathrm{q}>0, n \in N^{*}$ ．
（I）若 $2 a_{2}, a_{3}, a_{2}+2$ 成等差数列，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}=1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2}=\frac{5}{3}$ ，证明：$e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{n}>\frac{4^{n}-3^{n}}{3^{n-1}}$ ．

20．（13 分）设数列 $A: a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}(N \geqslant 2)$ 。如果对小于 $n(2 \leqslant n \leqslant N)$ 的每个正整数 $k$ 都有 $a_{k}（I）对数列 A：－2，2，－1，1，3，写出 $\mathrm{G}(\mathrm{A})$ 的所有元素；
（II）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n}>a_{1}$ ，则 $G(A) \neq \varnothing$ ；
（III）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n}-a_{n-1} \leqslant 1(n=2,3, \ldots, N)$ ，则 $G(A)$ 的元素个数不小于 $a_{N}-a_{1}$ ．

20．（16分）（2016•江苏）记 $U=\{1,2, \ldots, 100\}$ ，对数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $T$ ，若 $\mathrm{T}=\varnothing$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=0$ ；若 $\mathrm{T}=\left\{\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots, \mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right\}$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t}_{1}}{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{2}}+\ldots+{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{\mathrm{k}}}$ 。例如： $\mathrm{T}=\{1,3,66\}$时，$S_{T}=a_{1}+a_{3}+a_{66}$ ．现设 $\left\{a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_{T}=30$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）对任意正整数 $\mathrm{k}(1 \leq \mathrm{k} \leq 100)$ ，若 $\mathrm{T} \subseteq\{1,2, \ldots, \mathrm{k}\}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}<\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ ；
③设 $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{D} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{S}_{\mathrm{C}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{D}}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$ ．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1几何证明选讲】

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6分。

对于无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$，记 $A=\left\{x \mid x=a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$，若同时满足条件：①$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均单调递增；②$A \cap B=\varnothing$ 且 $A \cup B=\mathbf{N}^{*}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列．
（1）若 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=4 n-2$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若 $a_{n}=2^{n}$ 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 16 项的和；
（3）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

16．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2 a_{n}-a_{1}$，且 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$，求得 $\left|T_{n}-1\right|<\frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值．

21．（本小题满分 14 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 n 项和 Tn ；

（3）令 $\mathrm{b}_{1}=a_{1}, b_{n}=\frac{T_{n-1}}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) a_{n}(n \geq 2)$ ，证明：数列 $\left\{\mathrm{b}_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{n}$

满足 $S_{n}<2+2 \ln n$

18．已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=q a_{n}$（ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ），$n \in N^{*}, a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{2}+a_{1}, a_{3}+a_{4}$ ， $a_{4}+a_{5}$ 成等差数列。
（I）求 $q$ 的值和 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

19．（本小题满分 13 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=3 S_{n} -S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right)$,
（I）证明：$a_{n+2}=3 a_{n}$ ；
（II）求 $S_{n}$ 。

19．（14分）（ 2015 • 广东）设数列
$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．已知 $a_{1}=1, a_{2}=\frac{3}{2}, a_{3}=\frac{5}{4}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n+2}+5 S_{n}=8 S_{n+1}+S_{n-1}$
（1）求 $\mathrm{a}_{4}$ 的值；
（2）证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 为等比数列；
（3）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式．

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leqslant 36$ ，且 $a_{n+1}= \begin{cases}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{cases} (n=1,2, \ldots)$ ，记集合 $M=\left\{a_{n} \mid n \in N^{*}\right\}$ 。
（I）若 $a_{1}=6$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；
（II）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（III）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．

20．（16分）（2015•江苏）设 $a_{1}, a_{2}, a_{3} . a_{4}$ 是各项为正数且公差为 $d(d \neq 0)$ 的等差数列
（1）证明： $2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, 2^{a_{4}}$ 依次构成等比数列；
（2）是否存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, a_{2}{ }^{2}, a_{3}{ }^{3}, a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在 $a_{1}, d$ 及正整数 $n, k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, a_{2}{ }^{n+k}, a_{3}{ }^{n+2 k}, a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列？并说明理由。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21－
24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4－1：几何证明选讲】

22．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$b_{n}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right), e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^{x}$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（II）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的公式，并给出证明；

（III）令 $c_{n}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$，数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$，证明：$T_{n}

22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分。

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(b_{n+1}-b_{n}\right), n \in \mathrm{~N}^{*}$．
（1）若 $b_{n}=3 n+5$，且 $a_{1}=1$，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}}>a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求证：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项；
（3）设 $a_{1}=\lambda<0, b_{n}=\lambda^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求 $\lambda$ 的取值范围，使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 有最大值 M 与最小值 $m$，且 $\frac{\mathrm{M}}{m} \in(-2,2)$．

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1), n \in N^{+}$
证明：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列；
设 $b_{n}=3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}, n \in N^{*} \quad$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=2^{a_{n}}+(-1)^{n} a_{n}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．

16．（本小题满分 13 分．（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，$S_{n}$ 表示 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$；
（II）设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$项和 $T_{n}$．

17．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等差数列，$a_{2}, a_{4}$ 是方程 $x^{2}-5 x+6=0$ 的根．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=13$ ，$a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

17．（本小题满分 12 分）
已知首项都是 1 的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n} \neq 0, n \in N^{+}\right)$，满足 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0$．
（1）令 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n}=3^{n-1}$，求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$

（19）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知公差 $d=2, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $b_{n}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ ，记 $T_{n}=-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}-\ldots+(-1)^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

19．（本小题满分 14 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}=2 n a_{n+1}-3 n^{2}-4 n, n \in N^{*}$ ，且 $S_{3}=15$ ，
（1）求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{a_{n} b_{n}^{2}\right\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

20．（本小题满分 16 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n}=a_{m}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂。
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1}=1$，公差 $d<0$。若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$H$ 数列＂，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$，总存在两个＂$H$ 数列＂$\left\{b_{n}\right\}$ 和 $\left\{c_{n}\right\}$，使得
$a_{n}=b_{n}+c_{n}$
$\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 成立。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4－ 1：几何证明选讲】

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=p^{n}, n \in N^{*}$ ．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3}$ 成等差数列，求 $P$ 的值；
（2）若 $p=\frac{1}{2}$ ，且 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是递增数列，$\left\{a_{2 n}\right\}$ 是递减数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}

（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n+1} \leq 3 a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}, a_{1}=1$ ．
（1）若 $a_{2}=2, a_{3}=x, a_{4}=9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{m}=\frac{1}{1000}$ ，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{100}$ 成等差数列，求数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{100}$ 的公差的取值范围．

12．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{1}+1, a_{3}+3, a_{5}+5$ 构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $q=$
$\_\_\_\_$．

（12）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=1$ ，公差 $d \neq 0, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \ldots$ 和 $B_{1}, B_{2} \ldots B_{n} \ldots$ 分别在角 O 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n+1} A_{n+1}$ 的面积均相等．设 $O A_{n}=a_{n}$ 若 $a_{1}=1, a_{2}=2$ 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\_\_\_\_$．

第（1）题图

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n}=(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$，则
①$a_{3}=$ $\_\_\_\_$；
②$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$ $\_\_\_\_$。

15．对于 $\mathrm{E}=\left\{\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots \mathrm{a}_{100}\right\}$ 的子集 $\mathrm{X}=\left\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \ldots, a_{i_{k}}\right\}$，定义 X 的＂特征数列＂为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \ldots, \mathrm{x}_{100}$，其中 $x_{i_{1}}=x_{i_{2}}=\ldots=x_{i_{k}}=1$．其余项均为 0，例如子集 $\left\{\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right\}$ 的 ＂特征数列＂为 $0,1,0,0, \ldots, 0$
（1）子集 $\left\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\right\}$ 的＂特征数列＂的前三项和等于
（2）若 $E$ 的子集 $P$ 的＂特征数列＂$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{100}$ 满足 $P_{1}+P_{i+1}=1,1 \leqslant i \leqslant 99$； E 的子集 Q 的＂特征数列＂ $\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{2}, \ldots, \mathrm{q}_{100}$ 满足 $\mathrm{q}_{1}=1, \mathrm{q}_{1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+2}=1$， $1 \leqslant \mathrm{j} \leqslant 98$，则 $\mathrm{P} \cap \mathrm{Q}$ 的元素个数为

（19）（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数

$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3}=0, S_{5}=-5$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

19．（2013广东，文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n}=a_{n+1}^{2}-4 n -1, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列。
（1）证明：$a_{2}=\sqrt{4 a_{1}+5}$ ；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}<\frac{1}{2}$ ．

19．（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

20．（14分）给定数列 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．对 $\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1$ ，该数列前 i 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}, d_{i}=A_{i}-B_{i}$ ．
（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为3，4，7，1，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（II）设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ．证明： $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}$ 是公差大于 0 的等差数列，且 $d_{1}>0$ ．证明：$a_{1}$ ， $a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列．

20．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}, a_{n+2} \ldots$ 的最小值记为 $B_{n}, d_{n}=A_{n}-B_{n}$ ．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 $\left.n \in N^{*}, a_{n+4}=a_{n}\right)$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；
（II）设 $d$ 是非负整数，证明：$d_{n}=-d(n=1,2,3 \ldots)$ 的充分必要条件为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 d 的等差数列；
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．

16．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\mathrm{kn}$（其中 $\mathrm{k} \in N$ ），且 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最大值为 8 ．
（1）确定常数 k ，求 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ；（2）求数列 $\left\{\frac{9-2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。

16．对于 $n \hat{i} \mathrm{~N}^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{k}^{\prime} 2^{k}+a_{k-1}^{\prime} 2^{k-1}+\mathrm{L}+a_{1}^{\prime} 2^{1}+a_{0}^{\prime} 2^{0}$ ，当 $i=k$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $0 £ i £ k-1$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．定义 $b_{n}$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \mathrm{~L}, a_{k}$ 中等于 1 的个数为奇数时，$b_{n}=1$ ；否则 $b_{n}=0$ ．
①$b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）记 $c_{m}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中第 $m$ 个为 0 的项与第 $m+1$ 个为 0 的项之间的项数，则 $c_{m}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$。

18．（2012•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，其前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，且 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}=2, \mathrm{a}_{4}+\mathrm{b}_{4}=27, \mathrm{~S}_{4}-\mathrm{b}_{4}=10$ ．
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}, ~ \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，证明： $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}-8=\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1} ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, ~ \mathrm{n} \geq 2\right)$ 。

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n+2}{3} a_{n}$
（1）求 $a_{2}, a_{3}$ ；

（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

19．（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n}=a_{n+1}-2^{n+1}+1, n \in N^{*}$ ，且 $a_{1}, a_{2}+5, a_{3}$ 成等差数列。
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

20．（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{\sqrt{a_{n}{ }^{2}+b_{n}{ }^{2}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
①设 $b_{n+1}=1+\frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)^{2}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

## 绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学 II（附加题）

## 注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

## 21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

##

7．设 $S_{n}$ 是公差为 $d(d \neq 0)$ 的无穷等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题错误的是

20．（本小题共 12 分）
设 $d$ 为非零实数，$a_{n}=\frac{1}{n}\left[C_{n}^{1} d+2 C_{n}^{2} d^{2}+\cdots+(n-1) C_{n}^{n-1} d^{n-1}+n C_{n}^{n} d_{n}^{n}\right]\left(n \in N^{*}\right)$ 。
（I）写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
（II）设 $b_{n}=n d a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ ，
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和。

20．（本小题满分 14 分）
设 $b>0$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b, a_{n}=\frac{n b a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}(n \geqslant 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 $n, 2 a_{n} \leqslant b^{n+1}+1$ ．

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$.
（I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足

$ b_{n+1} a_{n}+b_{n} a_{n+1}=(-2)^{n}+1, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n-1}}{2}, n \in N^{*} \text {, 且 } a_{1}=2 \text {. } $

（I）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n+1}-a_{2 n-1}, n \in N^{*}$ ，证明 $\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}}+\frac{S_{2}}{a_{2}}+\cdots+\frac{S_{2 n-1}}{a_{2 n-1}}+\frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} \leq n-\frac{1}{3}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

20．（13分）（2011•北京）若数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right|=1 ~(\mathrm{k}=1, ~ 2, ~ \ldots , n-1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ ．
（I）写出一个满足 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{s}}=0$ ，且 $\mathrm{S}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{s}}\right)>0$ 的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；
（II）若 $\mathrm{a}_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明： E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 是递增数列的充要条件是 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2011$ ；
（III）对任意给定的整数 $n(n \geq 2)$ ，是否存在首项为 0 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；如果不存在，说明理由。

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}=1$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}$ ，记 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}$ ，证明： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．

20．（本小题共13分）
若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
（I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ；
（II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ；
（III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．

20．（本小题满分16分）
设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知对任意整数 $k \in M$ ，当 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2\left(S_{n}+S_{k}\right)$ 都成立。
（1）设 $M=\{1\}, a_{2}=2$ ，求 $a_{5}$ 的值；
②设 $M=\{3,4\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学II（附加题）

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $3,\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列且 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ．若则 $b_{3}=-2$ ， $b_{10}=12$ ，则 $a_{8}=$

15．若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ ，只有有限个正整数 $m$ 使得 $a_{m}$\left(\left(a_{n}\right)^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\left(n^{2}+n\right) \cdot 3^{n}$ ．
（I）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ ；（II）证明：$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}}{n^{2}}>3^{n}$ ．

20．（本小题满分 13 分）
给出下面的数表序列：

其中表 $\mathrm{n}(\mathrm{n}=1,2,3 \cdots)$ 有 n 行，第1行的 n 个数是1，3，5，⋯2n－
1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n ~(n \geqslant 3) ~($ 不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12 \cdots$ ，记此数列为
$\left\{b_{n}\right\}$ 求和：$\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\cdots \frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．

20．（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出 n 为何值时，$S_{n}$ 取得最小值，并说明理由。
（2）$S_{n}=n+75\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-90 \quad \mathrm{n}=15$ 取得最小值

（22）（本小题满分 14 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=0$ ，且对任意 $k \in N^{*} , a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ 成等差数列，其公差为

$d_{k}$ 。
（I）若 $d_{k}=2 k$ ，证明 $a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ 成等比数列 $\left(k \in N^{*}\right)$
（II）若对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ 成等比数列，其公比为 $q_{k}$ 。
（i）设 $q_{1} \neq 1$ ．证明 $\left\{\frac{1}{q_{k}-1}\right\}$ 是等差数列；
（ii）若 $a_{2}=2$ ，证明 $\frac{3}{2}<2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}} \leq 2(n \geq 2)$

22．（本小题满分 14 分）
正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=5$ ，且 $\left\{a_{n}^{2}\right\}$ 成等差数列．
（1）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有无穷多项为无理数；
（2）当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n}<200$ 的所有整数项的和．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_{n}$ 成立的最小正整数 $n$ ．

22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}

（22）（本小题满分 14 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=0$ ，且对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ 成等差数列，其公差为 $2 k$ ．
（I）证明 $\mathrm{a}_{4}, \mathrm{a}_{5}, \mathrm{a}_{6}$ 成等比数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）记 $T_{n}=\frac{2^{2}}{a_{2}}+\frac{3^{2}}{a_{3}}+\cdots+\frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2}<2 \mathrm{n}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \leq 2(\mathrm{n} \geq 2)$ ．

## 2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

17．（本小题满分14分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 $a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{4}^{2}+a_{5}^{2}, S_{7}=7$（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；②试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m+1}}{a_{m+2}}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的项．

20．（本小题满分 14 分）
已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像上一点。等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $f(n)-c$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $s_{n}$ 满足 $s_{n}-s_{n-1}=\sqrt{s_{n}}+\sqrt{s_{n-1}}(n \geqslant 2)$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{\frac{1}{b_{n} b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问满足 $T_{n}>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？

19．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, S_{n+1}=4 a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right)$ ．
①设 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}$ ，证明数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

22．（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n}=5 S_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$ 。
（I）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ；
（III）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ 。已知正实数 $\lambda$ 满足：对任意正整数 $n, R_{n} \leq \lambda n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值。

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

20．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$ ．
①设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

22．（本小题满分 14 分）
各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=a, a_{2}=b$ ，且对满足 $m+n=p+q$ 的正整数 $m, n, p, q$ 都有 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{p}+a_{q}}{\left(1+a_{p}\right)\left(1+a_{q}\right)}$.
（1）当 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（2）证明：对任意 $a$ ，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$ ，使得对于每个正整数 $n$ ，都有 $\frac{1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda$.

21．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$
（1）求 $S_{n}$ ；
②$b_{n}=\frac{S_{3 n}}{n \cdot 4^{n}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$ ．

21．（12分）（2009•陕西）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}, n \in N^{*}$ ．
（1）令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

（22）（满分 14 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}(\mathrm{d} \neq 0)$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 q $(\mathrm{q}>1)$ 。设 $s_{n}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} \ldots .+a_{n} b_{n}, T_{n}=a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}+\ldots . .+(-1)^{n-1} \quad a_{n} b_{n}, \mathrm{n} \in N^{+}$
（I）若 $a_{1}=b_{1}=1, \mathrm{~d}=2, \mathrm{q}=3$ ，求 $S_{3}$ 的值；
（II）若 $b_{1}=1$ ，证明 $(1-\mathrm{q}) S_{2 n}-(1+\mathrm{q}) T_{2 n}=\frac{2 d q\left(1-q^{2 n}\right)}{1-q^{2}}, \mathrm{n} \in N^{+}$；
（III）若正数 n 满足 $2 \leq \mathrm{n} \leq \mathrm{q}$ ，设 $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}$ 和 $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}$ 是 $1,2, \ldots, \mathrm{n}$ 的两个不同的排列， $c_{1}=a_{k_{1}} b_{1}+a_{k_{2}} b_{2}+\ldots+a_{k_{n}} b_{n}, \quad c_{2}=a_{l_{1}} b_{1}+a_{l_{2}} b_{2}+\ldots+a_{l_{n}} b_{n}$ 证明 $c_{1} \neq c_{2}$ 。

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

## 数学（理工类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。

22．（14分）（2009 •陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ；
（1）猜想数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 的单调性，并证明你的结论；
（II）证明：$\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant \frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$ ．

（22）（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，对任意的正整数 n ，都有 $a_{n}=5 s_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{+}\right) .$.
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{R}_{n}$ ，是否存在正整数 k ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由；
（III）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{+}\right)$，设数列 $\left|c_{n}\right|$ 的前 n 项和味 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 n ，都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ．

21．（本小题满分 14 分）
已知曲线 $C_{n}: x^{2}-2 n x+y^{2}=0(n=1,2, \ldots)$ ．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n}\left(k_{n}>0\right)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 与 $\left\{y_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdots x_{2 n-1}<\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}}<\sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$ ．
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}, S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ．证明：当 $n \geq 6$ 时，$\left|S_{n}-2\right|<\frac{1}{n}$ ．

19．（12 分）（2008 • 山东）将数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10} \ldots$ 记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ， $b_{1}=a_{1}=1$ ．$S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \quad(n \geqslant 2)$ ．
（I）证明数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数。当 $\mathrm{a}_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 3)$ 行所有项的和．
$a_{1}$
$a_{2} \quad a_{3}$
$\begin{array}{lll}a_{4} & a_{5} & a_{6}\end{array}$
$\begin{array}{llll}a_{7} & a_{8} & a_{9} & a_{10}\end{array}$

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=10$ 且 $a_{3}, a_{6}, a_{10}$ 成等比数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 2 0 项的和 $\mathrm{S}_{20}$ ．

20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，定义变换 $T_{1}, T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A): n, \quad a_{1}-1, \quad a_{2}-1, \cdots, \quad a_{n}-1$.

对于每项均是非负整数的数列 $B: b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ ，定义变换 $T_{2}, T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$ ；

又定义 $S(B)=2\left(b_{1}+2 b_{2}+\cdots+m b_{m}\right)+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}$ ．

设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}\left(A_{k}\right)\right)(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（I）如果数列 $A_{0}$ 为 $5,3,2$ ，写出数列 $A_{1}, A_{2}$ ；
（II）对于每项均是正整数的有穷数列 $A$ ，证明 $S\left(T_{1}(A)\right)=S(A)$ ；
（III）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$ ，存在正整数 $K$ ，当 $k \geqslant K$时，$S\left(A_{k+1}\right)=S\left(A_{k}\right)$ ．

20．（本小题满分 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+4 \sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$,
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $S_{k}=a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 k-1}, T_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, W_{k}=\frac{2 S_{k}}{2+T_{k}}\left(k \in N^{+}\right)$，
求使 $W_{k}>1$ 的所有 k 的值，并说明理由。

19．（本小题满分 12 分）
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正整数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64,\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 64 的等比数列．
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）证明：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{S_{n}}<\frac{3}{4}$ ．

19．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ 。
（I）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$ ．证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

（20）（本小题满分 12 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=(1+q) a_{n}-q a_{n-1}(n \geq 2, q \neq 0)$ 。
（I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．

（20）（本小题共 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \ldots \ldots), \lambda$ 是常数．
（I）当 $a_{2}=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_{3}$ 的值；
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 ；
（III）求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{\mathrm{n}}<0$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试

20．（12分）（2008•四川）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{ba}_{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=(\mathrm{b}-1) \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
（I）证明：当 $b=2$ 时，$\left\{a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是等比数列；
（II）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

20．（12分）（2008•陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}=\frac{2}{3}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}, \mathrm{n}=1,2, \ldots$
（I）证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

20．（12 分）（2008 ⋅ 四川）在数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=1,2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)^{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．
（I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ；
（III）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。

21．（本小题满分 12 分）
在数列 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 中，$a_{1}=2, b_{1}=4$ ，且 $a_{n}, b_{n}, a_{n+1}$ 成等差数列，$b_{n}, a_{n+1}, b_{n+1}$ 成等比数列 $\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
（I）求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 及 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，由此猜测 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 的通项公式，并证明你的结论；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}+b_{1}}+\frac{1}{a_{2}+b_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+b_{n}}<\frac{5}{12}$ ．

（22）（本题 14 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{n} \geq 0, a_{1}=0, a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-1=a_{n}^{2}\left(n \in N^{\bullet}\right)$ ．记

$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} . T_{n}=\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)} . $

求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，
（ I ）$a_{n}（II）$S_{n}>n-2$ ；
（III）$T_{n}<3$ 。

22．（本小题满分 14 分）
在 数 列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, b_{1}=4$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n+1}-(n+3) S_{n}=0,2 a_{n+1}$ 为 $b_{n}$ 与 $b_{n+1}$ 的等比中项，$n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
（I）求 $a_{2}, b_{2}$ 的值；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）设 $T_{n}=(-1)^{a_{1}} b_{1}+(-1)^{a_{2}} b_{2}+\ldots+(-1)^{a_{n}} b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明 $\left|T_{n}\right|<2 n^{2}, n \geqslant 3$ ．

## 2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

## 数学（理工类）参考解答