构造法高考真题解析专题，共 95 道真题，覆盖 17 个年份、88 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）
20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．
16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．
10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）
21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．
21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明
理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率；
（2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ；
（3）证明：$\frac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$ ．
19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．
21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。
6．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x$ 在区间 $(1,2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）。
22．（1）证明：当 $0
20．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+x)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
②设 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性；
（3）证明：对任意的 $s, t \in(0,+\infty)$ ，有 $f(s+t)>f(s)+f(t)$ ．
21．已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<1$ ．
20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线．
（1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ；
（2）求 $a$ 的取值范围．
22．已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围；
③设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln (n+1)$ ．
22．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0
21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．
22．已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$ ．
21.
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。
25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概
率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。
## 答案解析
21．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ ，求 $a$ 的取值范围．
22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．
## 答案解析：
22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．
20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．
19．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．
20．（14 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．
19．（本小题满分 16 分）
设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c \in \mathrm{R} , f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c, f(4)=8$ ，求 $a$ 的值；
（2）若 $a \neq b, b=c$ ，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0
20．（本小满分 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂M一数列＂。
（1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂ M 一数列＂
（2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$成立，求 $m$ 的最大值．
## 数学 II（附加题）
20．设函数 $f(x)=\ln x-a(x-1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ．
（I）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $0
（ii）设 $x$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_{1}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_{1}>x_{0}$ ，证明 $3 x_{0}-x_{1}>2$ ．
20．已知函数 $f(x)=2 \sin x-x \cos x-x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，求 $a$ 的取值范围．
22．（15分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\ln \mathrm{x}$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 处导数相等，证明：$f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>$ 8－8ln2；
（II）若 $\mathrm{a} \leqslant 3-4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $\mathrm{k}>0$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{a}$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有唯一公共点．
19．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
20．（16 分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+1(a>0, b \in R)$ 有极值，且导函数 $f^{\prime}$ （ $x$ ）的极值点是 $f(x)$ 的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：$b^{2}>3 a$ ；
（3）若 $f(x), f^{\prime}(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $-\frac{7}{2}$ ，求 a 的取值范围．
二．非选择题，附加题（21－24 选做题）【选修 4－1：几何证明选讲】（本小题满分 0分）
21．（12分）设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围．
22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．
20．（13 分）（2016 • 山东）已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2 x-1}{x^{2}}, a \in R$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明 $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\frac{3}{2}$ 对于任意的 $\mathrm{x} \in[1,2]$ 成立．
21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>\frac{1}{x}-e^{1-x}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立 $(\mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数）．
21、（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：当 $\mathrm{x}>1$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})>0$ ；
（III）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立．