构造法高考真题解析

14. 设实数q满足: 存在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，使得对于任意 $n \in N ^ { * }$ ，均有 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 3 n } = n ^ { 2 } + n$ ，且 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中有某连续9项 $a _ { k } , a _ { k + 1 } , \cdots , a _ { k + 8 }$ 是公比为q的等比数列，则q的最大值为

15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有

①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

③使得 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

15．关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ ，给出下列四个结论：
①存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2 x)=-x$ 恒成立；
②存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)-f(2 x)=x$ 恒成立；

③使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$。

19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。

12．已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2$ ．

22．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}<a_{4 n}$ ；③ $a_{m+n} \in\left\{a_{m}+a_{n}+p, a_{m}+a_{n}+p+1\right\}, \quad m, n \in N^{*}$.
（1）对于前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，可以是 $R_{2}$ 数列吗？说明理由；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。

14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．

22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）

12．若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$ ，则（ ）

11．若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则（ ）

12．若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$ ，则

21．已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

16．（5分）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, f(a)=4$ ，则 $f(-a)=-2$

8．（5分）若 $a>b>1, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

6．已知符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0 .\end{array} \quad f(x)\right.$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，$g(x)=f(x)-f(a x)(a>1)$ ，则

10．若定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=-1$ ，其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)>k>1$ ，则下列结论中一定错误的是

20．已知函数 $\mathrm{f}(x)=\ln (1+x), g(x)=k x,(\mathrm{k} \hat{\mathrm{I}} R)$ ，
（I）证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{f}(x)<x$ ；
（II）证明：当 $k<1$ 时，存在 $x_{0}>0$ ，使得对任意 $x \hat{\mathrm{I}}\left(0, x_{0}\right)$ ，恒有 $\mathrm{f}(x)>g(x)$ ；
（III）确定 k 的所以可能取值，使得存在 $t>0$ ，对任意的 $x \hat{\mathrm{I}}(0, \mathrm{t})$ ，恒有 $|\mathrm{f}(x)-g(x)|<x^{2}$ ．

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$ ．
（I）求实数 $a, b$ 的值；
（II）求 $\sqrt{a t+12}+\sqrt{b t}$ 的最大值．

12．＂对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), k \sin x \cos x<x$＂是＂$k<1$＂的

21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数， $f(x)+g(x)=\mathrm{e}^{x}$，其中 e 为自然对数的底数。
（I）求 $f(x), g(x)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0, g(x)>1$；
（II）设 $a \leq 0, b \geq 1$，证明：当 $x>0$ 时，$a g(x)+(1-a)<\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$．

12．（5分）设函数 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数 $f(x)(x \in R)$ 的导函数，$f(-1)=0$ ，当 $x >0$ 时，$x f^{\prime}(x)-f(x)<0$ ，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $($

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题：
①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

12．已知定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
①$f(0)=f(1)=0$ ；
②对所有 $x, y \in[0,1]$ ，且 $x \neq y$ ，有 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-y|$ ．若对所有 $x, y \in[0,1],|f(x)-f(y)|<k$ ，则 $k$ 的最小值为（ ）

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{b}\right) \sqrt{1-2 \mathrm{x}}(\mathrm{b} \in \mathrm{R})$ ．
（1）当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}<c<a_{2 n+1}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 成立？证明你的结论．

9．若 $0<x_{1}<x_{2}<1$，则

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$ ．
（I）证明 $\left\{a_{n}+\frac{1}{2}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

9．（5分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+\frac{1}{x}$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是

（12）设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$，则 $x>0$，时，$f(x)$

（7）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+9 x^{2}}-3 x\right)+1$，则 $f(\lg 2)+f\left(\lg \frac{1}{2}\right)=$

（10）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点都在球 $O$ 的球面上．若 $A B=3, A C=4$， $A B \perp A C, A A_{1}=12$，则球 $O$ 的半径为

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．

（15）若四面体 $A B C D$ 的三组对棱分别相等，即 $A B=C D, A C=B D, A D=B C$ ，则 －（写出所有正确结论编号）
（1）四 面体 $A B C D$ 每组对棱相互垂直
（2）四面体 $A B C D$ 每个面的面积相等
（3）从四面体 $A B C D$ 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 $90^{\circ}$ 而小于 $180^{\circ}$
（4）连接四面体 $A B C D$ 每组对棱中点的线段互垂直平分
（5）从四面体 $A B C D$ 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

9．设 $a>0, b>0$