已知 M= k a_ k =b_ k , a_ n , b…——2024 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①③④

## 【解析】

【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误。

【详解】对于①，因为 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故 $M$ 中至多一个元素，故①正确．
对于②，取 $a_{n}=2^{n-1}, b_{n}=-(-2)^{n-1}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为等比数列，
但当 $n$ 为偶数时，有 $a_{n}=2^{n-1}=b_{n}=-(-2)^{n-1}$ ，此时 $M$ 中有无穷多个元素，
故②错误．
对于③，设 $b_{n}=A q^{n}(A q \neq 0, q \neq \pm 1), a_{n}=k n+b(k \neq 0)$ ，
若 $M$ 中至少四个元素，则关于 $n$ 的方程 $A q^{n}=k n+b$ 至少有 4 个不同的正数解，
若 $q>0, q \neq 1$ ，则由 $y=A q^{n}$ 和 $y=k n+b$ 的散点图可得关于 $n$ 的方程 $A q^{n}=k n+b$ 至多有两个不同的解，矛盾；

若 $q<0, q \neq \pm 1$ ，考虑关于 $n$ 的方程 $A q^{n}=k n+b$ 奇数解的个数和偶数解的个数，

当 $A q^{n}=k n+b$ 有偶数解，此方程即为 $A|q|^{n}=k n+b$ ，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时 $A k \ln |q|>0$ ，
否则 $A k \ln |q|<0$ ，因 $y=A|q|^{n}, y=k n+b$ 单调性相反，
方程 $A|q|^{n}=k n+b$ 至多一个偶数解，
当 $A q^{n}=k n+b$ 有奇数解，此方程即为 $-A|q|^{n}=k n+b$ ，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 $-A k \ln |q|>0$ 即 $A k \ln |q|<0$
否则 $A k \ln |q|>0$ ，因 $y=-A|q|^{n}, y=k n+b$ 单调性相反，
方程 $A|q|^{n}=k n+b$ 至多一个奇数解，
因为 $A k \ln |q|>0, A k \ln |q|<0$ 不可能同时成立，
故 $A q^{n}=k n+b$ 不可能有 4 个不同的正数解，故③正确．
对于④，因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增，$\left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化。