（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△A…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD $\triangle A B C$ 是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得： $\Delta A B D \cong \Delta C B D$ ，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边， $\angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$ ．可得 ${ \mathsf { D O } } { = } \frac { 1 } { 2 } { \mathsf { A C } }$ ．利用 ${ \mathsf { D } } { \mathsf { O } } ^ { 2 } + { \mathsf { B } } { \mathsf { O } } ^ { 2 } { = } { \mathsf { A } } { \mathsf { B } } ^ { 2 } { = } { \mathsf { B } } { \mathsf { D } } ^ { 2 }$ ．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明

> ②设点D，B到平面ACE的距离分别为h ，h ．则 $\frac { h _ { \tt D } } { h _ { \tt E } } = \frac { \tt D E } { \tt B E }$ ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 $\frac { \frac { 1 } { 3 } \mathbb { S } _ { \Delta A C E } \cdot \mathrm { h } _ { \tt D } } { \frac { 1 } { 3 } \mathbb { S } _ { \Delta A C E } \cdot \mathrm { h } _ { \tt E } } = \frac { \mathrm { h } _ { \tt D } } { \mathrm { h } _ { \tt E } } = \frac { { \tt D E } } { { \tt B E } } = 1$ ，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出

【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形， $\therefore O B \bot A C$

$\triangle \mathsf { A B D }$ 与 $\triangle C B D$ 中， $A B = B D = B C , \angle A B D = \angle C B D$

$\therefore \Delta A B D \cong \Delta C B D$ ，∴AD=CD

$\because \triangle \sf { A C D }$ 是直角三角形，

∴AC是斜边， $\therefore \angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$

$$ \therefore D O = \frac { 1 } { 2 } A C . $$

$$ \therefore { \mathsf { D O } } ^ { 2 } + { \mathsf { B O } } ^ { 2 } = { \mathsf { A B } } ^ { 2 } = { \mathsf { B D } } ^ { 2 } . $$

$$ \therefore \angle B O D = 9 0 ^ { \circ } . $$

$$ \therefore { \mathsf { O B } } \bot { \mathsf { O D } } . $$

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD

又 $\mathsf { O B C } ^ { \cdot }$ 平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC

（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h_D，h_E．则 $\frac { h _ { \tt D } } { h _ { \tt E } } = \frac { \tt D E } { \tt B E }$

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

$$ \therefore \frac { \frac { 1 } { 3 } \mathbb { S } _ { \Delta \mathbb { A } \mathbb { C } \mathbb { E } } \cdot \mathrm { h } _ { \mathbb { D } } } { \frac { 1 } { 3 } \mathbb { S } _ { \Delta \mathbb { A } \mathbb { C } \mathbb { E } } \cdot \mathrm { h } _ { \mathbb { E } } } = \frac { \mathrm { h } _ { \mathbb { D } } } { \mathrm { h } _ { \mathbb { E } } } = \frac { \mathbb { D } \mathbb { E } } { \mathrm { B } \mathbb { E } } = 1 . $$

∴点E是BD的中点

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，

$$ \sqrt { 3 } , 0 ) , \mathsf { E } ( 0 , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) . $$

$$ \overrightarrow { \mathbb { A } } \mathbb { D } = \left( { \mathrm { ~ - ~ 1 , ~ } ~ 0 , ~ 1 } \right) ~ , ~ \overrightarrow { \mathbb { A } } \overrightarrow { \mathbb { E } } \overline { { = } } \left( { \mathrm { - 1 } } , ~ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , ~ \frac { 1 } { 2 } \right) , ~ \overrightarrow { \mathbb { A } } \overrightarrow { \mathbb { C } } = \left( { \mathrm { ~ - ~ 2 } } , ~ 0 , ~ 0 \right) $$

设平面ADE的法向量为 $\stackrel { } { \pi } = \mathrm { \Phi } ( { \sf x } , \ { \sf y } , \ { \sf z } )$ ，则 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \overrightarrow { \pi } } * { \overrightarrow { A D } } = 0 } \\ { { \overrightarrow { \pi } } * { \overrightarrow { A E } } = 0 } \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l l } { - \mathbf { x } + \mathbf { z } = 0 } \\ { \displaystyle - \mathbf { x } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { y } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { z } = 0 } \end{array} \right.$ ，取 $\stackrel { } { \pi } =$ (3, ${ \sqrt { 3 } } , 3 )$

同理可得：平面ACE的法向量为 $\vec { \mathrm { ~ \bf ~ n ~ } } = ( 0 , 1 , - \sqrt { 3 } )$

$$ \therefore \cos < \frac { \overrightarrow { \mathbf { \nabla } } } { \mathfrak { m } } , \overrightarrow { \mathbf { \nabla } } _ { \mathfrak { n } } > = \frac { \overrightarrow { \mathfrak { m } } \cdot \overrightarrow { \mathfrak { n } } } { \vert \overrightarrow { \mathfrak { m } } \vert \vert \overrightarrow { \mathfrak { n } } \vert } = \frac { - 2 \sqrt { 3 } } { \sqrt { 2 1 } \times 2 } = - \frac { \sqrt { 7 } } { 7 } . $$

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 $\frac { \sqrt { 7 } } { 7 }$

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题