已知函数 f ( x ) = e ^ x - a ( x…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）减区间为( ,0)-¥ ，增区间为 $( 0 , + \infty )$ ；② $( \frac { 1 } { e } , + \infty )$

【解析】

【分析】

（1）将a =1代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若f x( )有两个零点，即 $e ^ { x } - a ( x + 2 ) = 0$ 有两个解，将其转化为 $a = { \frac { e ^ { x } } { x + 2 } }$ 有两个解，

令 $h ( x ) = { \frac { e ^ { x } } { x + 2 } } ( x \neq - 2 )$ ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

【详解】①当 a =1时， $f ( x ) = e ^ { x } - ( x + 2 ) \ : , f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } - 1$

令 $f ^ { ^ { \prime } } ( x ) < 0$ ，解得 x < 0 ，令 $f ^ { ' } ( x ) > 0$ ，解得 $x > 0$

所以 f x( ) 的减区间为( ,0)-¥ ，增区间为(0, )+¥ ；

（2）若f x( )有两个零点，即 $e ^ { x } - a ( x + 2 ) = 0$ 有两个解，

从方程可知，x = 2不成立，即 $a = { \frac { e ^ { x } } { x + 2 } }$ 有两个解，

令 $h ( x ) = { \frac { e ^ { x } } { x + 2 } } ( x \neq - 2 )$ ，则有 $\dot { h ^ { ' } } ( x ) = \frac { e ^ { x } ( x + 2 ) - e ^ { x } } { ( x + 2 ) ^ { 2 } } = \frac { e ^ { x } ( x + 1 ) } { \left( x + 2 \right) ^ { 2 } }$

令 ^' h x( ) 0> ，解得 x > -1，令 $h ^ { ' } ( x ) < 0$ ，解得 x < -2 或 $- 2 < x < - 1$

所以函数 h x( ) 在 ( , 2) -¥ - 和 ( 2, 1) - - 上单调递减，在 ( 1, )- +¥ 上单调递增，

且当 x < -2 时， h x( ) 0< ，

而 $x \to - 2 ^ { + }$ 时， h x( ) ® +¥ ，当 x ® +¥ 时， $h ( x ) \to + \infty$

所以当 $a = { \frac { e ^ { x } } { x + 2 } }$ 有两个解时，有 $a > h ( - 1 ) = \frac { 1 } { e }$

所以满足条件的a的取值范围是： $( \frac { 1 } { e } , + \infty )$

【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 $y = e ^ { x }$ 和直线 $y = a ( x + 2 )$ 有两个交点，利用过点( 2,0)- 的曲线 $y = e ^ { x }$ 的切线斜率，结合图形求得结果.