16．（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_{1}=1$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
（II）求数列 $\left\{2^{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
参考答案
见解析
（本小题满分 12 分） 已知 a_ n 是公差不为零的等…——2010 高考数学第 16 题答案解析
2010_退役省自主命题 (2010·文)
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【解答】
解：（I）由题设知公差 $d \neq 0$ ，
由 $a_{1}=1, a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列得 $\frac{1+2 d}{1}=\frac{1+8 d}{1+2 d}$ ，
解得 $d=1, d=0$（舍去），
故 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=1+(n-1) \times 1=n$ ．
（II）由（I）知 $2^{m}=2^{n}$ ，
由等比数列前 $n$ 项和公式得
$S_{n}=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}=\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n+1}-2$.
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_退役省自主命题 (2010·文) · 第 16 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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