（12分）在数列 a _ n 中， a _ 1 = 1 ,…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式

【专题】11：计算题；14：证明题

【分析】（1）由 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } = 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } + 2 \mathsf { n }$ 构造可得 $\frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } - \frac { a _ { n - 1 } } { 2 ^ { n - 2 } } = 1$ 即数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 为等差数列

> ②由（1）可求 $\frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } = n$ ，从而可得 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } = \mathsf { n } \bullet 2 ^ { \mathsf { n } - 1 }$ 利用错位相减求数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的和

【解答】解：由 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } = 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } + 2 \mathsf { n }$ ．两边同除以2ⁿ得 $\frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n } } = \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } + 1$

$\therefore \frac { a _ { n + 1 } } { 2 ^ { n } } - \frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } = 1$ ，即 $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { b } _ { \mathsf { n } } = 1$

$\therefore \{ b _ { \mathfrak { n } } \}$ 以1为首项，1为公差的等差数列

> ②由（1）得 $\frac { a _ { n } } { 2 ^ { n - 1 } } = 1 + ( n - 1 ) \times 1 = n$

∴a_n=n•2ⁿ﹣¹

$$ S _ { \mathsf { n } } { = } 2 ^ { 0 } { + } 2 { \times } 2 ^ { 1 { + } } 3 { \times } 2 ^ { 2 { + } } . . . { + } { \mathsf { n } } { \bullet } 2 ^ { { \mathsf { n } } { - } 1 } $$

$$ { 2 \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } } { = } 2 ^ { 1 + } 2 { \times } 2 ^ { 2 + } { \ldots } ^ { + } \ { \mathrm { ( } } { \mathsf { n } } \mathrm { - } \ 1 { \mathrm { ) } } \bullet 2 ^ { \mathsf { n } - 1 + } { \mathsf { n } } { \bullet } 2 ^ { \mathsf { n } } $$

$$ \therefore - S _ { n } = 2 ^ { 0 + } 2 ^ { 1 + } 2 ^ { 2 + } \ldots + 2 ^ { n - 1 } - n \bullet 2 ^ { n } $$

$$ = \frac { 1 - 2 ^ { n } } { 1 - 2 } - n ^ { \bullet } 2 ^ { n } = ( 1 - n ) \bullet 2 ^ { n } - 1 $$

$$ \therefore S _ { n } = ( n - 1 ) \cdot 2 ^ { n + 1 } $$

【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握