（12分）（2008•陕西）已知数列 a _ n 的首项…——2008 高考数学第 20 题答案解析

（Ⅰ）由已知 $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+1}$，两边取倒数得：
$$ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+1}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2a_n} $$
整理得：
$$ \frac{1}{a_{n+1}} - 1 = \frac{1}{2a_n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a_n} - 1 \right) $$
又因为 $a_1 = \frac{2}{3}$，所以首项 $\frac{1}{a_1} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \neq 0$。
故数列 $\{ \frac{1}{a_n} - 1 \}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
$$ \frac{1}{a_n} - 1 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n} $$
所以：
$$ \frac{1}{a_n} = 1 + \frac{1}{2^n} $$
从而数列 $\{ \frac{n}{a_n} \}$ 的通项公式为：
$$ \frac{n}{a_n} = n \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) = n + \frac{n}{2^n} $$
设该数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，则：
$$ S_n = \sum_{k=1}^n \left( k + \frac{k}{2^k} \right) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} $$
第一部分为等差数列求和：
$$ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
第二部分设为 $T_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n}$，利用错位相减法求解：
$$ T_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{n}{2^n} \quad \text{......①} $$
$$ \frac{1}{2}T_n = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \cdots + \frac{n-1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}} \quad \text{......②} $$
① - ② 得：
$$ \frac{1}{2}T_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} \right) - \frac{n}{2^{n+1}} $$
括号内为等比数列求和：
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^n})}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n} $$
所以：
$$ \frac{1}{2}T_n = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}} $$
$$ T_n = 2 - \frac{2}{2^n} - \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n} $$
综上，数列 $\{ \frac{n}{a_n} \}$ 的前 $n$ 项和为：
$$ S_n = \frac{n(n+1)}{2} + 2 - \frac{n+2}{2^n} = \frac{n^2+n+4}{2} - \frac{n+2}{2^n} $$