球 O 的体积为 4 3 π, A, B, C, D 四点…——2026 高考数学第 14 题答案解析

【解析】
方法一：设 $\triangle A B C$ 的边长为 $a, H$ 为其中心，则 $A H=\frac{a}{\sqrt{3}}$ 。由 $D A=D B=D C$ 与 $O A=$ $O B=O C$ ，知 $D, O, H$ 共线，且 $D H$ 垂直平面 $A B C$ 。

记 $D H=h, O H=t$ 。由 $D A^{2}=2, O A^{2}=3$ ，得 $h^{2}+\frac{a^{2}}{3}=2, t^{2}+\frac{a^{2}}{3}=3$ ，作差得 $t^{2}-h^{2}=1$又 $O D=\sqrt{3}$ 。若 $O, D$ 在 $H$ 同侧，则 $t-h=\sqrt{3}$ ，从 $(t-h)(t+h)=1$ 得 $t+h=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ，与$t+h>t-h$ 矛盾；故不在同侧，所以 $t+h=\sqrt{3}, t-h=\frac{1}{\sqrt{3}}, h=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．

于是 $\frac{a^{2}}{3}=2-h^{2}=\frac{5}{3}, a^{2}=5$ ，所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ．
方法二：由球体积得 $R=\sqrt{3}, O D=\sqrt{3} . A, B, C$ 同在球 $O$ 与以 $D$ 为球心、 $\sqrt{2}$ 为半径的球的公共圆上，此圆即 $\triangle A B C$ 的外接圆．

设公共圆半径为 $r$ ，平面到 $D$ 的距离为 $x$ 。截圆公式给出 $x=\frac{O D^{2}+(\sqrt{2})^{2}-R^{2}}{2 O D}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ，所以$r^{2}=(\sqrt{2})^{2}-x^{2}=\frac{5}{3}$ ．

等边三角形面积只由外接圆半径决定，$S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} r^{2}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，应填：$\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ 。