2012_退役省自主命题 (2012·文)
18、（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-\frac{1}{2}$ 。
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期和值域；
（II）若 $f(\alpha)=\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\sin 2 \alpha$ 的值。
（ I ） $2 \pi,\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, （II）$\frac{7}{25}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
答案：（ I ） $2 \pi,\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, （II）$\frac{7}{25}$
解析：（I ）由已知，
$$ f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos x)-\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right), $$
所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ，值域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
（II）由（I）知，$f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3 \sqrt{2}}{10}, \therefore \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}$
所以 $\sin 2 \alpha=-\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=1-2 \cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25} \ldots .12$ 分
考点定位：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，意在考查考生运算能力、化归与转化等数学思想。