（5分）已知α为第二象限角， sin a + cos a…——2012 高考数学第 7 题答案解析

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数

【专题】56：三角函数的求值

【分析】由α为第二象限角，可知 $1 s i n a > 0 , \ c o s a < 0$ ，从而可求得 $\sin a - \cos a =$ $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 }$ ，利用 $\cos 2 \alpha = - \sin \alpha - \cos \alpha )$ （ $\sin a + \cos a )$ ）可求得 $\cos 2 \alpha$

【解答】解： $\because \sin a + \cos a = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，两边平方得： $\scriptstyle 1 + \sin 2 a = { \frac { 1 } { 3 } }$

$\therefore \sin 2 a = - \frac { 2 } { 3 }$ ，①

$$ \therefore ( \sin \alpha - \cos \alpha ) ^ { 2 } = 1 - \sin 2 \alpha = \frac { 5 } { 3 } , $$

$\because \alpha$ 为第二象限角，

$$ \therefore \sin a > 0 , \cos a < 0 , $$

$\therefore \sin a - \cos a = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 }$ ，②

$$ = ( - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 } ) \times \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $$

$= - { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } .$

故选：A

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得 $\sin a - \cos a = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 }$ 是关键，属于中档题