2012 大纲卷 数学

（5分）已知集合 $\mathsf { A } \mathbf { = } \left\{ \mathbf { \mathsf { x } } \mid \mathbf { \mathsf { x } } \right.$ 是平行四边形}， ${ \sf B } = \left\{ { \sf x } \left| \sf x \right. \right.$ 是矩形}， ${ \sf C } = \left\{ { \sf x } \left| \sf x \right. \right.$ 是正方形}${ \sf D } = \left\{ { \sf x } \left| \sf x \right. \right.$ 是菱形}，则（A $\mathsf { A } \subseteq \mathsf { B }$ B．C⊆B C ${ \mathsf { D } } { \subseteq } { \mathsf { C } }$ D $\mathsf { A } \subseteq \mathsf { D }$

（5分）若函数 $f ( \mathbf { x } ) = \mathbf { s i n } { \frac { \mathbf { x } + \Phi } { 3 } } ( \Phi \in [ 0 , ~ 2 \pi ] ) ,$ 是偶函数，则φ=（　　）A $\frac { \pi } { 2 }$ B $\frac { 2 \pi } { 3 }$ C $\frac { 3 \pi } { 2 }$ D $\frac { 5 \pi } { 3 }$

（5分）已知α为第二象限角， $\sin a = \frac { 3 } { 5 }$ ，则 $\sin 2 a =$ （ ）A $\frac { 2 4 } { 2 5 }$ B $\frac { 1 2 } { 2 5 }$ C $\frac { 1 2 } { 2 5 }$ D $\frac { 2 4 } { 2 5 }$

（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 $J \times = - \ 4$ ，则该椭圆的方程为（　　）A $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$ B $\frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 8 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ D $\frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

（5分）已知数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $\mid \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } , ~ \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } 1 , ~ \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } \mathsf { = } 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 }$ ，则当 $\mathsf { n } > 1$ 时， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } \mathsf { = }$ （）A $( \frac { 3 } { 2 } ) n - 1$ B $2 ^ { { \mathsf { n } } - 1 }$ C $( \frac { 2 } { 3 } ) n - 1$

$ \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } - 1 ) $

（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）

（5分）已知正四棱柱 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } } ^ { \mathsf { E } }$ 中， $\mathsf { A B } { = } 2$ ${ \mathsf { C C } } _ { 1 } { = } 2 { \sqrt { 2 } } ;$ ，E为 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 的中点，则直线 $\mathsf { A C } _ { 1 }$ 与平面BED的距离为（ ）A．2 B $\sqrt { 3 }$ C $\sqrt { 2 }$ D．1

（5分） $\triangle A B C ^ { \sharp }$ ，AB边的高为CD，若 $\overrightarrow { C B } = \overrightarrow { a }$ $\overrightarrow { C A } = \overrightarrow { b }$ $\stackrel { } { \circ } \cdot \stackrel { } { \ b } = 0$ $\stackrel { } { \sf \bar { a } } | = 1$ $\vert \overrightarrow { b } \vert = 2$ ，则 $\overrightarrow { \mathrm { A D } } =$ ）A $\frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { \mathbf { a } } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { \mathbf { b } }$ B $\frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { \mathbf { a } } - \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { \mathbf { b } }$ C $\frac { 3 } { 5 } \overrightarrow { \mathbf { a } } - \frac { 3 } { 5 } \overrightarrow { \mathbf { b } }$ D $\frac { 4 } { 5 } \overrightarrow { \mathbf { a } } - \frac { 4 } { 5 } \overrightarrow { \mathbf { b } }$

（5分）已知 $\mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { F } _ { 2 }$ 为双曲线C： $\ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2$ 的左、右焦点，点P在C上， $\vert P F _ { 1 } \vert = 2$ $\left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right|$ ，则 $\mathsf { c o s } \angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 2 } \mathbf { = }$ （ ）A $\frac { 1 } { 4 }$ B． $\frac { 3 } { 5 }$ C $\frac { 3 } { 4 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$

（5分）已知 $\scriptstyle | \mathbf { x } = | { \mathsf { n } } \pi$ $\tt y = \tt l o g _ { 5 } 2$ $\boldsymbol { \mathbf { \mathit { z } } } = \boldsymbol { \mathbf { \mathit { e } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ ，则（ ）A $x { < y < z }$ B ${ \boldsymbol { z } } { < } { \mathsf { x } } { < } { \mathsf { y } }$ C $z { < y < x }$ D． $\forall { < z < x }$

（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上， $A E = B F = \frac { 1 } { 3 }$ 定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（　　）

（5分）若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } + 1 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 3 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + 3 \mathbf { y } - 3 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ 则 $z = 3 x - y$ 的最小值为　﹣1 0

（5分）当函数 $y = \mathsf { s i n x } - \sqrt { 3 } \mathsf { c o s x } \ ( 0 \leq x < 2 \pi )$ ）取得最大值时， $x = - \frac { 5 \pi } { 6 } -$

（10分） $\triangle A B C \sharp$ ，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足 $2 b ^ { 2 } = 3 a c$ ，求A

（12分）已知数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ ，前n项和 $S _ { \mathrm { n } } = \frac { \mathrm { n + 2 } } { 3 } \bar { \bf { a } } _ { \mathrm { n } }$

（1）求 $\mathtt { a } _ { 2 }$ ， $\mathsf { a } _ { 3 } \mathsf { : }$

（2）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式

（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；

（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率

（12分）已知抛物线C： $\forall \mathbf { \bar { \mathbf { \tau } } } \mathbf { \Psi } ( \mathbf { x } ^ { + } 1 )$ ²与圆 $( \mathbf { x } - 1 ) ^ { 2 } + ( \mathbf { y } \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = \mathbf { r } ^ { 2 } ( \mathbf { r } > 0 )$ 有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l 的距离