（本小题满分 13 分） 某同学在一次研究性学习中发现，以…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解析】

> ①选择②式计算如下： $\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}=1-\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}=\frac{3}{4}$ ．
> （2）证明： $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2}\left(30^{\circ}-\alpha\right)-\sin \alpha \cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)$

$$ \begin{aligned} & =\sin ^{2} \alpha+\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right)^{2}-\sin \alpha\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right) \\ & \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4} \sin ^{2} \alpha-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha-\frac{1}{2} \sin ^{2} \alpha \\ & =\frac{3}{4} \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想。