声压级y(单位:dB的某刻度)与频率f(Hz)满足 y =…——2026 高考数学第 13 题答案解析

【解析】解法(对数不等式还原)注意 $3 \lg 2 = \lg 8$ ，故 $\log 2 \leq \log \left( 1 + { \frac { f } { 7 0 0 } } \right) < \log 8 $

由lg单调递增： $2 \leqslant 1 + \frac { f } { 7 0 0 } < 8 \Rightarrow 1 \leqslant \frac { f } { 7 0 0 } < 7 \Rightarrow 7 0 0 \leqslant f < 4 9 0 0 .$

【背景深挖】真实声学中，声压级 $L = 2 0 \log { \frac { p } { p _ { 0 } } } ( \mathrm { d B } )$ 本质是对数标度：人耳对响度的感知近似与声压的对数成正比 $( W e b e r - F e c h n e r$ 定律)。本题模型 $y = \log ( 1 + f / 7 0 0 )$ 与之同源——对数把跨越数个数量级的物理量“压缩”到可比较的尺度。理解“等比变化对应等差刻度”，正是对数函数在工程与信息(如分贝、星等、 $p H$ 、信息熵)中的统一价值。