（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差

【专题】15：综合题

【分析】（Ⅰ）记 ${ \mathsf A } _ { \mathrm i }$ 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则 $\mathsf { B } = \mathsf { A } _ { 0 } \mathsf { A } + \mathsf { A } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathsf { A } } } ,$ ，根据 $\textsf { P } ( \mathsf { A } ) = 0 . 4 , \ \textsf { P } ( \mathsf { A } _ { 0 } ) \ = 0 . 1 6 , \ \textsf { P } ( \mathsf { A }$ $_ 1 \ ) \ = 2 { \times } 0 . 6 { \times } 0 . 4 { = } 0 . 4 8$ ，即可求得结论；

（Ⅱ） $\mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ } } \left( \mathsf { A } _ { 2 } ^ { \phantom { } } \right) \mathsf { \Lambda } = 0 . 6 ^ { 2 } = 0 . 3 6$ ，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望

【解答】解：（Ⅰ）记 $\mathsf { I } _ { \mathsf { i } }$ 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；

B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则 $\mathsf { B } = \mathsf { A } _ { 0 } \mathsf { A } + \mathsf { A } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathsf { A } } }$

$$ \because P ( \mathsf { A } ) \ = 0 . 4 , \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 0 } ) \ = 0 . 1 6 , \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 1 } ) \ = 2 \times 0 . 6 \times 0 . 4 = 0 . 4 8 $$

$$ \therefore { \mathsf P } \left( { \mathsf B } \right) = 0 . 1 6 \times 0 . 4 \div 0 . 4 8 \times \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ - ~ 0 . 4 ~ ) ~ } = 0 . 3 5 2 ; $$

（Ⅱ） $\mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ } } \left( \mathsf { A } _ { 2 } ^ { \phantom { } } \right) \mathsf { \Lambda } = 0 . 6 ^ { 2 } = 0 . 3 6$ ，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3
$P ( \xi = 0 ) = P ( \mathsf { A } _ { 2 } \mathsf { A } ) = 0 . 3 6 { \times } 0 . 4 { = } 0 . 1 4 4$
$P ( \xi = 2 ) = P ( \ B ) = 0 . 3 5 2$
$p ( \xi = 3 ) = p ( \mathsf { A } _ { 0 } \bullet \overline { { \mathsf { A } } } ) = 0 . 1 6 \times 0 . 6 = 0 . 0 9 6$
$\mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ \xi = 1 ~ ) ~ } } = 1 \mathrm { ~ - ~ } 0 . 1 4 4 \mathrm { ~ - ~ } 0 . 3 5 2 \mathrm { ~ - ~ } 0 . 0 9 6 = 0 . 4 0 8$
∴ξ的期望 $\mathsf { E } \xi = 1 \times 0 . 4 0 8 + 2 \times 0 . 3 5 2 ^ { + } 3 \times 0 . 0 9 6 = 1 . 4 0 0 .$

【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键