（12分）已知斜率为1的直线与双曲线 C: x^ 2 a^…——2010 高考数学第 22 题答案解析

故 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2 a$ ，
$\therefore$ C的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=2$ ．
（II）由①②知， C 的方程为： $3 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=3 \mathrm{a}^{2}, \mathrm{~A}(\mathrm{a}, 0), \mathrm{F}(2 \mathrm{a}, 0)$ ， $x_{1}+x_{2}=2, \quad x_{1} x_{2}=-\frac{4+3 a^{2}}{2}$.
故不妨设 $x_{1} \leq-a, ~ x_{2} \geq a$ ，

$$ |\mathrm{BF}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{a}\right)^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}}=\mathrm{a}-2 \mathrm{x}_{1}, \quad|\mathrm{FD}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-2 \mathrm{a}\right)^{2}+\mathrm{y}_{2}^{2}}=2 \mathrm{x}_{2}-\mathrm{a} $$

$|B F| \cdot|F D|=\left(a-2 x_{1}\right) \quad\left(2 x_{2}-a\right)=-4 x_{1} x_{2}+2 a\left(x_{1}+x_{2}\right)-a^{2}=5 a^{2}+4 a+8$ ．
又 $|B F| \cdot|F D|=17$ ，故 $5 a^{2}+4 a+8=17$ ．
解得 $a=1$ ，或 $a=-\frac{9}{5}$（舍去），
故 $|B D|=\sqrt{2}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{2} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=6$ ，
连接 $M A$ ，则由 $A(1,0), M(1,3)$ 知 $|M A|=3$ ，
从而 $M A=M B=M D$ ，且 $M A \perp x$ 轴，
因此以 $M$ 为圆心，$M A$ 为半径的圆经过 $A , B , D$ 三点，且在点 $A$ 处与 $x$ 轴相切，所以过 $A , B , D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切．

【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．