2014_新课标I卷
12．（5分）已知函数f $( { \bf { x } } ) { \bf { \varepsilon } } = { \bf { a } } { \bf { x } } ^ { 3 } - 3 { \bf { x } } ^ { 2 } + 1$ ，若f（x）存在唯一的零点 $\mathbf { \dot { x } } _ { 0 }$ ，且 $. \mathsf { x } _ { 0 } > 0$ ，则实数a的取值范围是（ ）A $( 1 , \ + \infty )$ B．（2，+∞） C $\big ( \mathrm { ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ - ~ } 1 \big )$ D $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } - 2 )$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用
【分析】由题意可得f′ $( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 6 x = 3 x ( a x - 2 )$ ${ \textbf { \textsf { f } } } ( 0 ) { \textbf { \textsf { = } } } 1$ ；分类讨论确定
函数的零点的个数及位置即可
【解答】解： ${ \mathfrak { a } } { \mathfrak { f } } ( \mathbf { x } ) = { \mathfrak { a } } \mathbf { x } ^ { 3 } - 3 \mathbf { x } ^ { 2 } + 1$
$\therefore f ^ { \prime } ( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 6 x = 3 x ( a x - 2 )$ ，f（0）=1；
①当a=0时， $: \mathbf { \rho } ( \mathbf { x } ) \ = \ - \ 3 { \mathbf { x } } ^ { 2 } + 1$ 有两个零点，不成立；
②当 ${ \sf 1 a > 0 }$ 时， ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) = \mathsf { a x } ^ { 3 } - 3 \mathsf { x } ^ { 2 } + 1$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 0 \mathrm { ) }$ 上有零点，故不成立；
③当 $\mathsf { a } < 0 |$ 时， ${ \sf f } { \mathrm { ~ ~ \left( ~ \right) ~ } } = { \sf a } { \sf x } ^ { 3 } - 3 { \sf x } ^ { 2 } + 1$ 在 $( 0 , \ + \infty )$ 上有且只有一个零点；
故f $( \mathsf { x } ) \mathsf { \Omega } = \mathsf { a x } ^ { 3 } - 3 \mathsf { x } ^ { 2 } + 1$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 0 \mathrm { ) }$ 上没有零点；
而当 $1 x = \frac { 2 } { \hat { a } }$ 时， ${ \sf f } { \mathrm { ~ ~ \left( ~ \right) ~ } } = { \sf a } { \sf x } ^ { 3 } - 3 { \sf x } ^ { 2 } + 1$ 在 $\left( \begin{array} { l l } { - \infty , } & { 0 } \end{array} \right)$ 上取得最小值；
故f $( \frac { 2 } { \tt a } ) = \frac { 8 } { { \tt a } ^ { 2 } } - 3 \bullet \frac { 4 } { { \tt a } ^ { 2 } } + 1 > 0 ;$
故 $\cdot \mathsf { a } < - 2$
综上所述，
实数a的取值范围是 $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } - 2 )$
故选：D
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题