已知函数 f ( x ) = 2 cos ( ω x +…——2021 高考数学第 16 题答案解析

【答案】2

【解析】

【分析】先根据图象求出函数f x( )的解析式，再求出 $f ( - \frac { 7 \pi } { 4 } ) , f ( \frac { 4 \pi } { 3 } )$ 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知 $\frac { 3 } { 4 } T = \frac { 1 3 \pi } { 1 2 } - \frac { \pi } { 3 } = \frac { 3 \pi } { 4 }$ ，即 $T = { \frac { 2 \pi } { \omega } } = \pi$ ，所以w= 2；

由五点法可得 $2 \times \frac { \pi } { 3 } + \varphi = \frac { \pi } { 2 }$ ，即 $\varphi = - \frac { \pi } { 6 }$ #

所以 $f ( x ) = 2 \cos \left( 2 x - { \frac { \pi } { 6 } } \right)$

因为 $f ( - \frac { 7 \pi } { 4 } ) = 2 \cos \left( - \frac { 1 1 \pi } { 3 } \right) = 1 , f ( \frac { 4 \pi } { 3 } ) = 2 \cos \left( \frac { 5 \pi } { 2 } \right) = 0$

所以由 $( f ( x ) - f ( - { \frac { 7 \pi } { 4 } } ) ) ( f ( x ) - f ( { \frac { 4 \pi } { 3 } } ) ) > 0$ 可得 f x( ) 1> 或 $f ( x ) < 0$

因为 $f \left( 1 \right) = 2 \cos \left( 2 - \frac { \pi } { 6 } \right) < 2 \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 6 } \right) = 1$ ，所以，

**方法一**：结合图形可知，最小正整数应该满足f x( ) 0< ，即 $\cos \left( 2 x - { \frac { \pi } { 6 } } \right) < 0$

解得 $k \pi + \frac { \pi } { 3 } < x < k \pi + \frac { 5 \pi } { 6 }$ , k Î Z ，令 k = 0 ，可得 $\frac { \pi } { 3 } < x < \frac { 5 \pi } { 6 }$

可得x的最小正整数为2.

**方法二**：结合图形可知，最小正整数应该满足f x( ) 0< ，又 $f ( 2 ) = 2 \cos \left( 4 - { \frac { \pi } { 6 } } \right) < 0$ ，符合题意，可得x

的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解w，根据特殊点求解j.