2021 全国甲卷 数学

设集合 $M = \left\{ x { \big | } 0 < x < 4 \right\}$ $N = \left\{ x { \bigg | } { \frac { 1 } { 3 } } \leq x \leq 5 \right\}$ ，则 $M \cap N = { \mathrm { ~ ( ~ ) ~ } }$

已知 $( 1 - i ) ^ { 2 } z = 3 + 2 i$ ，则z = （ ）

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ $\sqrt [ 1 0 ] { 1 0 } \approx 1 . 2 5 9$ ）

等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为q，前n项和为 $S _ { n }$ ，设甲： $q > 0$ $\textsf { Z }$ $\left\{ S _ { n } \right\}$ 是递增数列，则（ ）

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 $A ^ { \prime } , B ^ { \prime } , C ^ { \prime }$ 满足 $\angle A ^ { \prime } C ^ { \prime } B ^ { \prime } = 4 5 ^ { \circ }$ $\angle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 6 0 ^ { \circ }$ ．由C点测得B点的仰角为 $1 5 ^ { \circ }$ $B B ^ { \prime }$ 与$C C ^ { \prime }$ 的差为100；由B点测得A点的仰角为 $4 5 ^ { \circ }$ ，则A，C两点到水平面 $A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$ 的高度差 $A A ^ { \prime } { - } C C ^ { \prime }$ 约为（${ \sqrt { 3 } } \approx 1 . 7 3 2 { } )$ （ ）

若 $\alpha \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right) , \tan 2 \alpha = \frac { \cos \alpha } { 2 - \sin \alpha }$ ，则 $\tan \alpha = \mathrm { ~ ( ~ ) ~ }$

将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）

已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 $A C \bot B C , A C = B C = 1$ ，则三棱锥O ABC- 的体积为（ ）

设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in \left[ 1 , 2 \right]$ 时， $f ( x ) = a x ^ { 2 } + b$ ．若 $f { \bigl ( } 0 { \bigr ) } + f { \bigl ( } 3 { \bigr ) } = 6$ ，则 $f \left( { \frac { 9 } { 2 } } \right) =$ （ ）

曲线 $y = \frac { 2 x - 1 } { x + 2 }$ 在点(-1,-3)处的切线方程为

已知 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 为椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ 两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且的$\left| P Q \right| = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ ，则四边形 $P F _ { 1 } Q F _ { 2 }$ 的面积为

已知函数 $f ( x ) = 2 \cos ( \omega x + \varphi )$ 的部分图像如图所示，则满足条件${ \Bigg ( } f ( x ) - f { \Bigg ( } - { \frac { 7 \pi } { 4 } } { \Bigg ) } { \Bigg ) } { \Bigg ( } f ( x ) - f { \Bigg ( } { \frac { 4 \pi } { 3 } } { \Bigg ) } { \Bigg ) } > 0$ 的最小正整数x为

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>一级品</td><td rowspan=1 colspan=1>二级品</td><td rowspan=1 colspan=1>合计</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>甲机床</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>200</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>乙机床</td><td rowspan=1 colspan=1>120</td><td rowspan=1 colspan=1>80</td><td rowspan=1 colspan=1>200</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>合计</td><td rowspan=1 colspan=1>270</td><td rowspan=1 colspan=1>130</td><td rowspan=1 colspan=1>400</td></tr></table>

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $P \big ( K ^ { 2 } \ge k \big )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的各项均为正数，记 $S _ { n }$ 为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立

①数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列：②数列 $\left\{ { \sqrt { S _ { n } } } \right\}$ 是等差数列；③ $a _ { 2 } = 3 a _ { 1 }$

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分