【答案】（1）0.6
> ② ${ \frac { 1 } { 6 } } \times \left( { \frac { 2 } { 5 } } \right) ^ { i - 1 } + { \frac { 1 } { 3 } }$
> ③ $E ( Y ) = { \frac { 5 } { 1 8 } } { \Bigg [ } 1 - \left( { \frac { 2 } { 5 } } \right) ^ { n } { \Bigg ] } + { \frac { n } { 3 } }$
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
> ②设 $P \left( \mathcal { A } _ { i } \right) = p _ { i }$ ，由题意可得 $p _ { i + 1 } = 0 . 4 p _ { i } + 0 . 2$ ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出
【小问 1 详解】
记“第i次投篮的人是甲”为事件A ，“第i次投篮的人是 $Z , \ '$ 为事件 $B _ { i }$ ，
所以， $P \left( B _ { 2 } \right) = P \left( \mathcal { A } _ { 1 } B _ { 2 } \right) + P \left( B _ { 1 } B _ { 2 } \right) = P \left( \mathcal { A } _ { 1 } \right) P \left( B _ { 2 } \mid \mathcal { A } _ { 1 } \right) + P \left( B _ { 1 } \right) P \left( B _ { 2 } \mid B _ { 1 } \right)$
$$
= 0. 5 \times (1 - 0. 6) + 0. 5 \times 0. 8 = 0. 6
$$
【小问2详解】
设 $P \left( { \cal A } _ { i } \right) = p _ { i }$ ，依题可知， $P \left( B _ { i } \right) = 1 - p _ { i }$ ，则
$$
P \left(A _ {i + 1}\right) = P \left(A _ {i} A _ {i + 1}\right) + P \left(B _ {i} A _ {i + 1}\right) = P \left(A _ {i}\right) P \left(A _ {i + 1} \mid A _ {i}\right) + P \left(B _ {i}\right) P \left(A _ {i + 1} \mid B _ {i}\right),
$$
即 $p _ { i + 1 } = 0 . 6 p _ { i } + \left( 1 - 0 . 8 \right) \times \left( 1 - p _ { i } \right) = 0 . 4 p _ { i } + 0 . 2$
构造等比数列 $\left\{ p _ { i } + \lambda \right\}$
设 $p _ { i + 1 } + \lambda = \frac { 2 } { 5 } \big ( p _ { i } + \lambda \big )$ ，解得 $\lambda = - \frac 1 3$ ，则 ${ p _ { i + 1 } - { \frac { 1 } { 3 } } = { \frac { 2 } { 5 } } { \bigg ( } { p _ { i } - { \frac { 1 } { 3 } } } { \bigg ) } }$
又 $p _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } , p _ { 1 } - \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 6 }$ ，所以 $\left\{ p _ { i } - { \frac { 1 } { 3 } } \right\}$ 是首项为 $\frac { 1 } { 6 }$ ，公比为 $\frac { 2 } { 5 }$ 的等比数列，
即 $p _ { i } - \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 6 } \times \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { i - 1 } , p _ { i } = \frac { 1 } { 6 } \times \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { i - 1 } + \frac { 1 } { 3 } .$
【小问3详解】
因为 $p _ { i } = \frac { 1 } { 6 } { \times } \left( \frac { 2 } { 5 } \right) ^ { i - 1 } + \frac { 1 } { 3 } , i = 1 , 2 , \cdots , n$
所以当 $n \in \mathrm { N } ^ { * }$ 时， $E { \bigl ( } Y { \bigr ) } = p _ { 1 } + p _ { 2 } + \cdots + p _ { n } = { \frac { 1 } { 6 } } \times { \frac { 1 - \left( { \frac { 2 } { 5 } } \right) ^ { n } } { 1 - { \frac { 2 } { 5 } } } } + { \frac { n } { 3 } } = { \frac { 5 } { 1 8 } } { \Biggl [ } 1 - \left( { \frac { 2 } { 5 } } \right) ^ { n } { \Biggr ] } + { \frac { n } { 3 } } ,$
故 $E ( Y ) = { \frac { 5 } { 1 8 } } \left\lceil 1 - \left( { \frac { 2 } { 5 } } \right) ^ { n } \right\rceil + { \frac { n } { 3 } }$
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解