（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且 B…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直

【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD

> ②设 $P A = P D = A B = D C = a$ ，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且 $A D = \sqrt { 2 }$ $\mathsf { P O } { = } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \bar { \mathsf { a } } ^ { , }$ 由四棱锥 $\textsf { P - A B C D }$ 的体积为 $\frac { 8 } { 3 }$ ，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积

【解答】证明：（1）∵在四棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C D } \dagger$ ， $\angle B A P = \angle C D P = 9 0 ^ { \circ }$

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又 $_ { \mathsf { A B } \parallel \mathsf { C D } } , \mathsf { \Omega } : \mathsf { A B } \bot \mathsf { P D }$

∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，

$\because A B \subset$ 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD

解：（2）设 $\mathsf { P A } = \mathsf { P D } = \mathsf { A B } = \mathsf { D C } = \mathsf { a }$ ，取AD中点O，连结PO，

$\therefore P A = P D = A B = D C$ $\angle A P D = 9 0 ^ { \circ }$ ，平面PAB⊥平面 $\mathsf { P A D }$ ，

$\therefore \mathsf { P O \bot }$ 底面ABCD，且 $A D = \sqrt { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } z$ ， $\mathsf { P O } { = } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathsf { a } ,$

$\because$ 四棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C D }$ 的体积为 $\frac { 8 } { 3 }$ ，

由 $\mathsf { A B \bot }$ 平面PAD，得 $A B \bot A D$

$\therefore V _ { P - A B C D } = \frac { 1 } { 3 } \times S$ 四边形 $_ \mathrm { \tt A B C D } \times \mathrm { P O }$

$$ = \frac { 1 } { 3 } \times \mathtt { A B } \times \mathtt { A D } \times \mathtt { P O } = \frac { 1 } { 3 } \times \mathtt { a } \times \sqrt { 2 } \mathtt { a } \times \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \bar { \mathtt { a } } = \frac { 1 } { 3 } \bar { \mathtt { a } } ^ { 3 } = \frac { 8 } { 3 } , $$

解得a=2， $\therefore P A = P D = A B = D C = 2$ $A D = B C = 2 \sqrt { 2 }$ ${ \mathsf { P O } } { = } { \sqrt { 2 } } ,$

$$ \therefore P B = P C = \sqrt { 4 + 4 } = 2 \sqrt { 2 } , $$

∴该四棱锥的侧面积：

$$ S _ { \Delta P B C } = S _ { \Delta P A D } + S _ { \Delta P A B } + S _ { \Delta P D C } + S _ { \Delta P B C } $$

$$ = \frac { 1 } { 2 } \times \mathsf { P A } \times \mathsf { P D } ^ { + } \frac { 1 } { 2 } \times \mathsf { P A } \times \mathsf { A B } ^ { + } \frac { 1 } { 2 } \times \mathsf { P D } \times \mathsf { D C } ^ { + } \frac { 1 } { 2 } \times \mathsf { B C } \times \sqrt { \mathsf { P B } ^ { 2 } - ( \frac { \mathsf { B C } } { 2 } ) ^ { 2 } } $$

$$ = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 + \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 + \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 + \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times \sqrt { 8 - 2 } $$

$$ = 6 + 2 { \sqrt { 3 } } . $$

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题