【答案】（Ⅰ） ${ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } ;$ ；（Ⅱ） $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ；（Ⅲ） $( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } ) \cup ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 解析过程： （Ⅰ）解：由已知有 ${ \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 3 } }$ ，又由 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ ，可得 $a ^ { 2 } = 3 c ^ { 2 } , b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 }$ 设直线 <sup>FM</sup>的斜率为 k k( 0)f ，则直线 <sup>FM</sup>的方程为 $y = k ( x + c )$ 由已知，有 $( \frac { k c } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } ) ^ { 2 } + ( \frac { c } { 2 } ) ^ { 2 } = ( \frac { b } { 2 } ) ^ { 2 }$ ，解得 $k = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } = 1$ 直线FM的方程为 $y = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } { \big ( } x + c { \big ) }$ 两个方程联立，消去y，整理得 $3 x ^ { 2 } + 2 c x - 5 c ^ { 2 } = 0$ 解得 $x = - \frac { 5 } { 3 } c$ ，或 $x = c$ 因为点M在第一象限，可得M的坐标为 $( c , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } c )$ .有 $\left| F M \right| = \sqrt { \left( c + c \right) ^ { 2 } + ( \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } c - 0 ) ^ { 2 } } = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$ 解得c =1，所以椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ (III）解：设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t， 得 $t = { \frac { y } { x + 1 } }$ ，即 $y = t { \bigl ( } x + 1 { \bigr ) } \left( x \neq - 1 \right)$ 与椭圆方程联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { { y = t ( x + 1 ) , } } \\ { { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } } } \end{array} \right.$ 消去 y ， 整理得 $2 x ^ { 2 } + 3 t ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 2 } = 6$ 又由已知，得 $t = { \sqrt { \frac { 6 - 2 x ^ { 2 } } { 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } } } } > { \sqrt { 2 } }$ 解得 $- { \frac { 3 } { 2 } } < x < - 1$ ，或 $- 1 < x < 0$ 设直线OP的斜率为m，得 $m = { \frac { y } { x } }$ ，即 $y = m x ( x \neq 0 )$ 与椭圆方程联立，整理可得 $m ^ { 2 } = \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 }$ ①当 $x \in \left( - \frac { 3 } { 2 } , - 1 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) < 0$ 因此 $m > 0$ ，于是 $m = \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$ ②当 $x \in \left( - 1 , 0 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) > 0$ 因此 $m < 0$ ，于是 $m = - \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 综上，直线OP的斜率的取值范围是 $( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } ) \cup ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$
【解析】答案：
（Ⅰ） ${ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } ;$ ；（Ⅱ） $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ ；（Ⅲ） $( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } ) \cup ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知有 ${ \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 3 } }$ ，又由 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ ，可得 $a ^ { 2 } = 3 c ^ { 2 } , b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 }$
设直线 <sup>FM</sup>的斜率为 k k( 0)f ，则直线 <sup>FM</sup>的方程为 $y = k ( x + c )$
由已知，有 $( \frac { k c } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } ) ^ { 2 } + ( \frac { c } { 2 } ) ^ { 2 } = ( \frac { b } { 2 } ) ^ { 2 }$ ，解得 $k = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } = 1$
直线FM的方程为 $y = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } { \big ( } x + c { \big ) }$
两个方程联立，消去y，整理得 $3 x ^ { 2 } + 2 c x - 5 c ^ { 2 } = 0$
解得 $x = - \frac { 5 } { 3 } c$ ，或 $x = c$
因为点M在第一象限，可得M的坐标为 $( c , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } c )$ .有 $\left| F M \right| = \sqrt { \left( c + c \right) ^ { 2 } + ( \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } c - 0 ) ^ { 2 } } = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$ 解得c =1，所以椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$
(III）解：设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，
得 $t = { \frac { y } { x + 1 } }$ ，即 $y = t { \bigl ( } x + 1 { \bigr ) } \left( x \neq - 1 \right)$
与椭圆方程联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { { y = t ( x + 1 ) , } } \\ { { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } } } \end{array} \right.$ 消去 y ，
整理得 $2 x ^ { 2 } + 3 t ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 2 } = 6$
又由已知，得 $t = { \sqrt { \frac { 6 - 2 x ^ { 2 } } { 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } } } } > { \sqrt { 2 } }$
解得 $- { \frac { 3 } { 2 } } < x < - 1$ ，或 $- 1 < x < 0$
设直线OP的斜率为m，得 $m = { \frac { y } { x } }$ ，即 $y = m x ( x \neq 0 )$
与椭圆方程联立，整理可得 $m ^ { 2 } = \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 }$
①当 $x \in \left( - \frac { 3 } { 2 } , - 1 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) < 0$
因此 $m > 0$ ，于是 $m = \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$
②当 $x \in \left( - 1 , 0 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) > 0$
因此 $m < 0$ ，于是 $m = - \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$
综上，直线OP的斜率的取值范围是 $( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } ) \cup ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$