2015 天津卷 数学

B 解析过程： 输入 $S = 2 0 , i = 1$ $i = 2 \times 1 , S = 2 0 - 2 = 1 8 , 2 > 5$ 不成立； $i = 2 \times 2 = 4 , S = 1 8 - 4 = 1 4 , 4 > 5$ 不成立 $i = 2 \times 4 = 8 , S = 1 4 - 8 = 6 , 8 > 5$ 成立 输出 6,选 B

A 解析过程： 由相交弦定理可知， $ A M \cdot M B = C M \cdot M D , C N \cdot N E = A N \cdot N B \ , $ 又因为M N, 是弦AB 的三等分点， 所以 $A M \cdot M B = A N \cdot N B \therefore C N \cdot N E = C M \cdot M D$ 所以 $N E = { \frac { C M \cdot M D } { C N } } = { \frac { 2 \times 4 } { 3 } } = { \frac { 8 } { 3 } }$ ，选 A

D 解析过程： 双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , \ b > 0 )$ 的渐近线方程为 $y = \pm { \frac { b } { a } } x$ 由点 $( 2 , \sqrt { 3 } )$ 在渐近线上，所以 ${ \frac { b } { a } } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 双曲线的一个焦点在抛物线 $y ^ { 2 } = 4 \sqrt { 7 } x$ 准线方程 $x = - { \sqrt { 7 } }$ 上， 所以 $c = { \sqrt { 7 } }$ ，由此可解得 $a = 2 , b = { \sqrt { 3 } }$ 所以双曲线方程为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ ，选 D

C 解析过程： 因为函数 $f ( x ) = 2 ^ { \left| x - m \right| } - 1$ 为偶函数，所以 $m = 0$ ，即 $f ( x ) = 2 ^ { \left| x \right| } - 1$ 所以 $a = f ( \log _ { 0 . 5 } 3 ) = f { \bigg ( } \log _ { 2 } { \frac { 1 } { 3 } } { \bigg ) } = 2 ^ { \left| \log _ { 2 } { \frac { 1 } { 3 } } \right| } - 1 = 2 ^ { \log _ { 2 } 3 } - 1 = 3 - 1 = 2 ,$ $ b = f \left( \log _ { 2 } 5 \right) = 2 ^ { \log _ { 2 } 5 } - 1 = 4 , c = f \left( 2 m \right) = f ( 0 ) = 2 ^ { 0 } - 1 = 0 $ 所以 $c < a < b$ ，选 C

-2 解析过程： $\left( 1 - 2 i \right) \left( a + i \right) = a + 2 + \left( 1 - 2 a \right) i$ i是纯虚数， 所以 $a + 2 = 0$ ，即 $a = - 2$

$\frac { 2 9 } { 1 8 }$ 解析过程： 因为 $\overrightarrow { D F } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B }$ $ \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { D F } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } - \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 9 \lambda } \overrightarrow { D C } = \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ~ , $ $ \overrightarrow { A E } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } = \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } , $ $ \begin{array} { l } { { \displaystyle \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C F } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \frac { 1 - 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } , } } \\ { { \displaystyle \overrightarrow { A E } \cdot \overrightarrow { A F } = \left( \overrightarrow { A B } + \lambda \overrightarrow { B C } \right) } { \cdot ( \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \lambda \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + ( 1 + \lambda \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } ) \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { B C } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 1 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 4 + \lambda + \frac { 1 9 + 9 \lambda } { 1 8 \lambda } \times 2 \times \mathrm { { s } l } \times \cos { 1 2 0 } ^ { \circ } } } \\ { { \displaystyle = \frac { 2 } { 9 \lambda ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } \geq 2 \sqrt { \frac { 2 } { 9 \lambda } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \lambda + \frac { 1 7 } { 1 8 } = \frac { 2 9 } { 1 8 } } } \end{array} $

（Ⅰ）p；（Ⅱ）最大值 $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ ，最小值 $- { \frac { 1 } { 2 } }$ 解析过程： （Ⅰ）解：由题意得 $ \begin{array} { l } { \displaystyle f ( x ) = \frac { 1 - \cos 2 x } { 2 } - \frac { 1 - \cos ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } ) } { 2 } } \\ { \displaystyle = \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin 2 x ) - \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x } \\ { \displaystyle = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \sin 2 x - \frac { 1 } { 4 } \cos 2 x = \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 6 } ) } \end{array} $ 所以，f x( )的最小正周期 $T = { \frac { 2 \pi } { 2 } } = \pi$ （Ⅱ）解：因为 f x( )在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , - { \frac { \pi } { 6 } } \right]$ 上是减函数， 在区间 $\left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 4 } \right]$ 上是增函数， $ f ( - \frac { \pi } { 3 } ) = - \frac { 1 } { 4 } , f ( - \frac { \pi } { 6 } ) = - \frac { 1 } { 2 } , f ( \frac { \pi } { 4 } ) = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } . $ 所以， f x( ) 在区间 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , { \frac { \pi } { 4 } } \right]$ 上的最大值为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ ，最小值为 $- { \frac { 1 } { 2 } }$

$( \mathrm { ~ I ~ } ) ~ \frac { 6 } { 3 5 } ; \mathrm { ~ ( ~ I I ~ ) ~ }$ 见解析解析过程： （Ⅰ）解：由题意得 $P ( A ) = { \frac { C _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 3 } ^ { 2 } C _ { 3 } ^ { 2 } } { C _ { 8 } ^ { 4 } } } = { \frac { 6 } { 3 5 } }$ 所以，事件A发生的概率为 $\frac { 6 } { 3 5 }$ （Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. $ P ( X = k ) = \frac { C _ { 5 } ^ { k } C _ { 3 } ^ { 4 - k } } { C _ { 8 } ^ { 4 } } ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) . $ 所以，随见变量 $X$ 的分布列为 <table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 1 4 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 3 } { 7 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 3 } { 7 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 1 4 }$ </td></tr></table> 随机变量X的数学期望 $E { \big ( } X { \big ) } = 1 \times { \frac { 1 } { 1 4 } } + 2 \times { \frac { 3 } { 7 } } + 3 \times { \frac { 3 } { 7 } } + 4 \times { \frac { 1 } { 1 4 } } = { \frac { 5 } { 2 } }$

(1) 当 $x \in \left( - \frac { 3 } { 2 } , - 1 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) < 0$ 因此 $m > 0$ ，于是 $m = \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$; (2) 当 $x \in \left( - 1 , 0 \right)$ 时，有 $y = t ( x + 1 ) > 0$ 因此 $m < 0$ ，于是 $m = - \sqrt { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } }$ ，得 $m \in ( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$ 综上，直线OP的斜率的取值范围是 $( - \infty , - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } ) \cup ( \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } , \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } )$