（12分）如图，在三棱锥 P - A B C H A B…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平 面角及求法

【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；

（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论

【解答】（1）证明：连接BO，

$\because A B = B C = 2 { \sqrt { 2 } }$ ，O是AC的中点，

$\therefore B O \bot A C ,$ ，且BO=2，

又 $\mathsf { P A } { = } \mathsf { P C } { = } \mathsf { P B } { = } \mathsf { A C } { = } 4$

∴PO⊥AC，PO=2 ，

则 $\mathsf { P B } ^ { 2 } { = } \mathsf { P O } ^ { 2 } { + } \mathsf { B O } ^ { 2 }$

则 ${ \mathsf { P O } } \bot { \mathsf { O B } } ,$

∵OB∩AC=O，

∴PO⊥平面ABC；

（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图

A（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），C（0，2，0），B（2，0，0），

$\overrightarrow { B C } = ( - 2 , 2 , 0 )$

设 $\overrightarrow { B 1 } = \lambda \overrightarrow { B C } = ( - 2 \lambda , ~ 2 \lambda , ~ 0 ) , 0 < \lambda < 1$

则 $\overrightarrow { \mathrm { A M } } = \overrightarrow { \mathrm { B M } } - \overrightarrow { \mathrm { B A } } = \left( { \it \Delta \phi } - 2 \lambda , ~ 2 \lambda , ~ 0 \right) - \left( { \it \Delta \phi } - 2 , ~ { \it \Delta \phi } - 2 , ~ 0 \right) = \left( 2 - 2 \lambda , ~ 2 \lambda + 2 , ~ 0 \right)$

则平面PAC的法向量为 $\stackrel { } { \pi } = \ ( 1 , \ 0 , \ 0 )$

设平面MPA的法向量为 $\vec { \bf \Phi } _ { \mathrm { { r } } } \mathbf { = } \mathbf { \Phi } ( { \bf x } , \ { \bf y } , \ { \bf z } )$

则 $\overrightarrow { \mathrm { P A } } = ~ ( 0 , \quad - 2 , \quad - ~ 2 \sqrt { 3 } )$

则 $\stackrel { } { \mathrm { \bf { \vec { n } ^ { * } } } } = \mathrm { \bf { \vec { P } ^ { * } } } - 2 \mathrm { \bf { \vec { \sqrt { 3 } } } } \mathrm { \bf { z } } = 0 , \stackrel { } { \mathrm { \bf { \vec { n } ^ { * } } } } \stackrel { } { \mathrm { \bf { \vec { A } } } } { \mathrm { \bf { \vec { A } } } } = \mathrm { \bf { \vec { \ k } } } + \mathrm { \bf { \vec { \kappa } } } ( 2 \lambda ^ { + } 2 ) \mathrm { \bf { \vec { \nu } } } \mathrm { \bf { y } } = 0$

令z=1，则 $y = - \sqrt { 3 } , x = \frac { ( \lambda + 1 ) \sqrt { 3 } } { 1 - \lambda }$

即 $\vec { \mathrm { \mid ~ } } \vec { \mathrm { \bf ~ r } } = ~ ( \frac { ( \lambda + 1 ) \sqrt { 3 } } { 1 - \lambda } , ~ - \sqrt { 3 } , ~ 1 )$

∵二面角 $\mathsf { M } - \mathsf { P A } - \mathsf { C }$ 为30°，

$$ \therefore \cos 3 0 ^ { \circ } = { \big | } { \frac { \overrightarrow { \mathrm { m } } \cdot { \overrightarrow { \mathrm { n } } } } { \big | \overrightarrow { \mathrm { m } } \mid \big | \overrightarrow { \mathrm { n } } \mid } } { = } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , $$

即 $\frac { \frac { ( \lambda + 1 ) { \sqrt { 3 } } } { \lambda - 1 } } { \sqrt { ( \frac { \lambda + 1 } { 1 - \lambda } \bullet { \sqrt { 3 } } ) ^ { 2 } + 1 + 3 \bullet 1 } } { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ,$

解得 $\cdot \lambda = \frac { 1 } { 3 }$ 或λ=3（舍），

则平面MPA的法向量 $\vec { \mathrm { ~ \underline { { ~ } } } } = \ ( 2 { \sqrt { 3 } } , \quad - \ { \sqrt { 3 } } , \ 1 )$

$\overrightarrow { P C } = ( 0 , 2 , - 2 \sqrt { 3 } )$

PC与平面PAM所成角的正弦值 $\mathsf { s i n } \theta = | \cos < \overrightarrow { \mathrm { P C } } , \overrightarrow { \mathrm { n } } > | = | \frac { - 2 \sqrt { 3 } - 2 \sqrt { 3 } } { \sqrt { 1 6 } \bullet \sqrt { 1 6 } } | = \frac { 4 \sqrt { 3 } - \sqrt { 3 } } { 1 6 } .$

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键