已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长．
【详解】由 $e=\sqrt{5}$ ，则 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=5$ ，
解得 $\frac{b}{a}=2$ ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 $y=2 x$ ，
则圆心 $(2,3)$ 到渐近线的距离 $d=\frac{|2 \times 2-3|}{\sqrt{2^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
所以弦长 $|A B|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
故选：D