若双曲线 y^ 2 - x^ 2 m^ 2 =1(m>0)…——2022 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

## 【解析】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 $y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线为 $y= \pm \frac{x}{m}$ ，即 $x \pm m y=0$ ，不妨取 $x+m y=0$ ，圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$ ，即 $x^{2}+(y-2)^{2}=1$ ，所以圆心为 $(0,2)$ ，半径 $r=1$ ，依题意圆心 $(0,2)$ 到渐近线 $x+m y=0$ 的距离 $d=\frac{|2 m|}{\sqrt{1+m^{2}}}=1$ ，

解得 $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．