直线与圆的位置关系　·　历年高考数学真题与解析

10．抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则（ ）

12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为

11．已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，则 $x-y$ 的最大值是（）

12．过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 于点 $P$ ，若 $|O P|=8$ ，则 $p$的值为 $\_\_\_\_$ ．

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$

9．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$（ ）

14．若双曲线 $y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$ 相切，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

12.

若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 A ，与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点 $B$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

16．已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆
$\left(x-\frac{1}{2} c\right)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，且 $P F_{2} \perp x$ 轴，则该直线的斜率是 $\_\_\_\_$

，椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$。

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；
（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

21．已知曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{2}, D$ 为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（1）证明：直线 $A B$ 过定点：
（2）若以 $E\left(0, \frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求四边形 $A D B E$的面积．

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，

（第 18 题）

求直线 $/$ 的方程．

10．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

11．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

9．（5分）若双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2) { }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 ，则 $C$ 的离心率为（ ）

18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 $\mathrm{M}: \mathrm{x}^{2}+ y^{2}-12 x-14 y+60=0$ 及其上一点A（2，4）。
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，求圆 N 的标准方程；
②设平行于 OA 的直线 $l$ 与圆 M 相交于 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ 两点，且 $\mathrm{BC}=\mathrm{OA}$ ，求直线 $l$ 的方程；
③设点 $\mathrm{T}(\mathrm{t}, 0)$ 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，求实数 t 的取值范围

6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 2 b ，则双曲线的方程为（ ）

10、设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，与圆 $C:(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $A B$ 中点，若这样的直线 $l$ 恰有4条，则 $r$ 的取值范围是

10．设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与圆 $(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 $l$ 恰有 4 条，则 $r$ 的取值范围是

12．若点 $P(1,2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

20．（12分）已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-3) { }^{2}=1$ 交于点 $M , N$ 两点。
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）若 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=12$ ，其中 O 为坐标原点，求 $|\mathrm{MN}|$ ．

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一个焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 $(x-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=3$ 相切，则双曲线的方程为

15．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1} { }_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $\_\_\_\_$ $\frac{4}{3}$。

16．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1}$与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $-\frac{4}{3}$ —。

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．
已知 $|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: x^{2}+2 y^{2}=4$ ，
（1）求椭圆 C 的离心率
②设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $O A \perp O B$ ，求直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的位置关系，并证明你的结论．

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l: y=-\frac{1}{2} x+m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程．

14．（ 5 分）（ 2013 • 广东）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t \\ y=\sqrt{2} \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 1 ，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 1 的极坐标方程为 $\_\_\_\_$。

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直线坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数，$a>b>0$ ）。在极坐标系（与直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴为正半轴 为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标分别为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} m$（ $m$ 为非零常数）与 $\rho=b$．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$．

21．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1) 2$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线1．
（I）求 $r$ ；
（II）设 $m$ ，$n$ 是异于I且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $\mid$的距离．

21．（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$
的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心．
（1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程；
②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的

直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

11．在抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}-5(\mathrm{a} \neq 0)$ 上取横坐标为 $\mathrm{x}_{1}=4, \mathrm{x}_{2}=2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则

22．（15分）（2011 •浙江）如图，设 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ 上的动点．过点 P 做圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+$（ $\mathrm{y}+3)^{2}=1$ 的两条切线，交直线 $1: \mathrm{y}=-3$ 于 $\mathrm{A}, B$ 两点。
（I）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 准线的距离。
（II）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 在点 P 处的切线平分？若存在，求出点 P 的坐标 ；若不存在，请说明理由．

8．（3分）（2011•山东）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆C： $x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为（）
A $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
－$\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
C $\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$
－$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$

（22）（本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧 $\overparen{A C}=\overparen{B D}$ ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于
E 点，证明：
（I）$\angle A C E=\angle B C D$ 。
（II）$B C^{2}=\mathrm{BE} \times \mathrm{CD}$ 。

22．（本小题满分 14 分）
如图，已知圆 $G:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 的内接 $\triangle A B C$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点
（1）求圆 $G$ 的半径 $r$ ；
（2）过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E, F$两点，证明：直线 $E F$ 与圆 $G$ 相切．

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

8．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$

13．已知圆 $C$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点关于直线 $y=x$ 对称，直线 $4 x-3 y-2=0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=6$ ，则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

13．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+8=0$ ．以圆 $C$ 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．