【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法
【专题】5F：空间位置关系与距离
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证 $\angle A _ { 1 } \mathsf { F D }$ 为二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A } \mathsf { B } ^ { \mathrm { ~ - ~ } }$ C的平面角，解三角形由反三角函数可得
【解答】解：（Ⅰ） $\because A _ { 1 } D \perp$ 平面ABC， $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$ 平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$
∴平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面ABC，又 ${ \tt B C \bot A C }$
$\therefore \mathsf { B C \bot }$ 平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ ，连结 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$
由侧面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 为菱形可得 $\mathsf { A C } _ { 1 } \bot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$
又 ${ \mathsf { A C } } _ { 1 } \bot { \mathsf { B C } }$ $A _ { 1 } C \cap B C = C$
$\therefore \mathsf { A C } _ { 1 } \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } \mathsf { C }$ $\mathsf { A B } _ { 1 } \mathsf { C }$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } \mathsf { C }$ ，
$\therefore A C _ { 1 } \bot A _ { 1 } B$
（Ⅱ） $\because B \mathsf { C } \bot$ 平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ ${ \mathsf { B C } } \subset$ 平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$
∴平面 $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$
作 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { C } \mathsf { C } _ { 1 }$ ，E为垂足，可得 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot$ 平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$
又直线 $\mathsf { A A } _ { 1 } \parallel$ 平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$
$\therefore A _ { 1 } \tt E$ 为直线 $\mathsf { A A } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { B C C } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 的距离，即 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \mathsf { = } \sqrt { 3 }$
$\because A _ { 1 } C$ 为 $\angle A C C _ { 1 }$ 的平分线， $\therefore A _ { 1 } D = A _ { 1 } E = \sqrt { 3 }$
作 $D F \bot A B$ ，F为垂足，连结 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F }$ ，
又可得 $\mathsf { A B \bot A _ { 1 } D }$ $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \cap \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } { = } \mathsf { A } _ { 1 }$
$\therefore A B \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { F }$ $\because A _ { 1 } F C$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { F }$
$\therefore A _ { 1 } F \bot A B$
$\therefore \angle A _ { 1 } F D$ 为二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B } - \mathsf { C }$ 的平面角，
由 $\mathsf { A D } { = } \sqrt { \mathsf { A A } _ { 1 } { } ^ { 2 } { - } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } ^ { 2 } } { = } 1$ 可知D为AC中点，
$$
\therefore D F = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { A C \times B C } { A B } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } ,
$$
$$
\therefore \tan \angle A _ { 1 } F D = \frac { \mathtt { A } _ { 1 } \mathtt { D } } { \mathtt { D F } } = \sqrt { 1 5 } ,
$$
∴二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { A B } - \mathsf { C }$ 的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题
