19、（本题满分 14 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d>0$ ，设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{2} \cdot S_{3}=36$
（1）求 $d$ 及 $S_{n}$ ；
（2）求 $m, k\left(m, k \in N^{*}\right)$ 的值，使得 $a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_{m+k}=65$
19．考点与思路：考点是等差数列及其前 $n$ 项和问题．解决问题的关键是熟练运用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式以及一定的运算能力等
（I）$\because a_{1}=1, S_{2} \cdot S_{3}=36$ ， $\therefore\left(2 \times 1+\frac{2 \times 1}{2} \times d\right)\left(3 \times 1+\frac{3 \times 2}{2} \times d\right)=36$ ， $\therefore(d+5)(d-2)=0$ ，而 $d>0, \therefore d=2$ ， $\therefore S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=n+\frac{n(n-1)}{2} \times 2=n^{2}$ ． （II）由 $a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_{m+k}=65$ ，得 $S_{m+k}-S_{m-1}=65$ ， $\therefore(m+k)^{2}-(m-1)^{2}=65$ ， $\therefore(2 m+k-1)(k+1)=65=5 \times 13$ ， $\therefore k+1=5$ ，且 $2 m+k-1=13$ ， $\therefore k=4, m=5$ ．