2012_退役省自主命题 (2012·理)
（16）已知正三棱锥 $P-\boldsymbol{A B C}$ ，点 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 都在半径为 $\sqrt{3}$ 的求面上，若 $\boldsymbol{P A}, \boldsymbol{P B}, \boldsymbol{P C}$ 两两互相垂直，则球心到截面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：正三棱锥 P－ABC 可看作由正方体 PADC－BEFG 截得，如图所示， PF 为三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 的外接球的直径，且 $P F \perp$ 平面 $A B C$ ，设正方体掕长为
a，则 $3 a^{2}=12, a=2, A B=A C=B C=2 \sqrt{2}$ ，
$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$
由 $V_{P-A B C}=V_{B-P A C}$ ，得 $\frac{1}{3} \bullet h \bullet S_{\triangle A B C}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2$ ，所以 $h=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，因为球心到平面 ABC 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力。