【解答】
（Ⅰ）由于 $3 \times 4 ~ 5 ~ \frac { 4 } { 3 }$ 均不属于数集{1,3,4}，∴该数集不具有性质P.由于 $\cdot 1 \times 2 , 1 \times 3 , 1 \times 6 , 2 \times 3 , \frac { 6 } { 2 } , \frac { 6 } { 3 } , \frac { 1 } { 1 } , \frac { 2 } { 2 } , \frac { 3 } { 3 } , \frac { 6 } { 6 }$ 都属于数集{1,2,3,6}，∴该数集具有性质P.
（Ⅱ） $\because A = \left\{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { n } \right\}$ 具有性质P， $\therefore a _ { n } a _ { n } { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } }$ 中至少有一个属于A，由于 $1 \leq a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { n } , \ : \ : a _ { n } a _ { n } > a _ { n }$ ，故 $a _ { n } a _ { n } \notin A$ 从而 $1 = { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } \in A \ , \ \therefore a _ { 1 } = 1$ $\because 1 = a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { n } , \quad \colon a _ { k } a _ { n } > a _ { n }$ ，故 $a _ { k } a _ { n } \not \in A \left( k = 2 , 3 , \cdots , n \right)$ 由A具有性质P可知 ${ \frac { a _ { n } } { a _ { k } } } \in A { \left( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n \right) }$ 又 $\therefore { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } < { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } < \cdots < { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } < { \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } } , \quad \quad \cdot { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } = a _ { 1 } , { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } = a _ { 2 } , \cdots { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } = a _ { n - 1 } , { \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } } = a _ { n } \wedge { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } = { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } }$
$$
\beta \backslash { \overline { { \operatorname { f f f } } } } { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } + { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + \cdots + { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } + { \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n - 1 } + a _ { n } ~ , ~ : { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } } { a _ { 1 } ^ { - 1 } + a _ { 2 } ^ { - 1 } + \cdots + a _ { n } ^ { - 1 } } } = a _ { n } \ .
$$
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 $n = 5$ 时，有 $\frac { a _ { 5 } } { a _ { 4 } } = a _ { 2 } , \frac { a _ { 5 } } { a _ { 3 } } = a _ { 3 }$ ，即 $a _ { 5 } = a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 3 } ^ { 2 }$
$\because 1 = a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { s } \ , \ : a _ { 3 } a _ { 4 } > a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { s } \ , \ : a _ { 3 } a _ { 4 } \not \in A$ ，由A具有性质P可知 $\frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } \in A$
由 $a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 3 } ^ { 2 }$ ，得 $\cfrac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \cfrac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } \in A$ ，且 $1 < \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } < a _ { 3 } , \therefore \frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = a _ { 2 }$ ，∴
$$
\frac { a _ { 5 } } { a _ { 4 } } = \frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } = a _ { 2 } ,
$$
即 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 }$ 是首项为1，公比为 $a _ { 2 }$ 成等比数列.
解析
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
【解答】
（本小题共13分）
已知数集 $A = \left\{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { n } \right\} \left( 1 \leq a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots a _ { n } , n \geq 2 \right)$ 具有性质P：对任意的$i , j \left( 1 \leq i \leq j \leq n \right)$ $a _ { i } a _ { j } { \frac { a _ { j } } { a _ { i } } }$ 两数中至少有一个属于A.
（I）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明： $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$ ，且 $\frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } } { a _ { 1 } ^ { - 1 } + a _ { 2 } ^ { - 1 } + \cdots + a _ { n } ^ { - 1 } } = a _ { n }$ ；
（Ⅲ）证明：当n =5时， $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 }$ 成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于 $3 \times 4 ~ 5 ~ \frac { 4 } { 3 }$ 均不属于数集{1,3,4}，∴该数集不具有性质P.由于 $1 \times 2 , 1 \times 3 , 1 \times 6 , 2 \times 3 , \frac { 6 } { 2 } , \frac { 6 } { 3 } , \frac { 1 } { 1 } , \frac { 2 } { 2 } , \frac { 3 } { 3 } , \frac { 6 } { 6 }$ 都属于数集{1,2,3,6}，∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵ $A = \left\{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { n } \right\}$ 具有性质P， $\therefore a _ { n } a _ { n } { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } }$ 中至少有一个属于A，
由于 $1 \leq a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { n } , \ : \ : a _ { n } a _ { n } > a _ { n }$ ，故 $a _ { n } a _ { n }$ AÏ .
从而 $1 = { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } \in A \ , \ \therefore a _ { 1 } = 1$
$\because 1 = a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { n } , \quad \colon a _ { k } a _ { n } > a _ { n }$ ，故 $a _ { k } a _ { n } \not \in A \left( k = 2 , 3 , \cdots , n \right)$
由A具有性质P可知 ${ \frac { a _ { n } } { a _ { k } } } \in A { \left( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n \right) }$
$$
\gtrsim \because \frac { a _ { n } } { a _ { n } } < \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } < \cdots < \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } < \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } ,
$$
$$
\therefore { \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } = a _ { 1 } , { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } = a _ { 2 } , \cdots { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } = a _ { n - 1 } , { \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } } = a _ { n } ,
$$
从而 ${ \frac { a _ { n } } { a _ { n } } } + { \frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } } + \cdots + { \frac { a _ { n } } { a _ { 2 } } } + { \frac { a _ { n } } { a _ { 1 } } } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n - 1 } + a _ { n }$
$$
\therefore { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } } { a _ { 1 } ^ { - 1 } + a _ { 2 } ^ { - 1 } + \cdots + a _ { n } ^ { - 1 } } } = a _ { n } .
$$
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n =5时，有 $\frac { a _ { 5 } } { a _ { 4 } } = a _ { 2 } , \frac { a _ { 5 } } { a _ { 3 } } = a _ { 3 }$ ，即 $a _ { 5 } = a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 3 } ^ { 2 }$
$$
\because 1 = a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots < a _ { 5 }
$$
∴ $a _ { 3 } a _ { 4 } > a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 5 } , \ : a _ { 3 } a _ { 4 }$ AÏ ，
由A具有性质P可知 $\frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } \in \mathcal { A }$
由 $a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 3 } ^ { 2 }$ ，得 $\cfrac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \cfrac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } \in A$ ，且 $1 < \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } < a _ { 3 } , \therefore \frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = a _ { 2 }$
$$
\therefore \frac { a _ { 5 } } { a _ { 4 } } = \frac { a _ { 4 } } { a _ { 3 } } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } = \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } = a _ { 2 }
$$
即 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 }$ 是首项为1，公比为 $a _ { 2 }$ 成等比数列.