设函数 f(x) 的定义域为 R , f(x+1) 为奇函…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】通过 $f(x+1)$ 是奇函数和 $f(x+2)$ 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 $f(x)=-2 x^{2}+2$ ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】因为 $f(x+1)$ 是奇函数，所以 $f(-x+1)=-f(x+1)$①；
因为 $f(x+2)$ 是偶函数，所以 $f(x+2)=f(-x+2)$②．
令 $x=1$ ，由①得：$f(0)=-f(2)=-(4 a+b)$ ，由②得：$f(3)=f(1)=a+b$ ，
因为 $f(0)+f(3)=6$ ，所以 $-(4 a+b)+a+b=6 \Rightarrow a=-2$ ，
令 $x=0$ ，由①得：$f(1)=-f(1) \Rightarrow f(1)=0 \Rightarrow b=2$ ，所以 $f(x)=-2 x^{2}+2$ ．
思路一：从定义入手。
$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}+2\right)=f\left(-\frac{5}{2}+2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(-\frac{3}{2}+1\right)=-f\left(\frac{3}{2}+1\right)=-f\left(\frac{5}{2}\right)$
$-f\left(\frac{5}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}+2\right)=-f\left(-\frac{1}{2}+2\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)$
所以 $f\left(\frac{9}{2}\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}$ ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$ ．
所以 $f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}$ ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．