已知函数 f ( x ) = ln x - x + 1 x…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）函数f x( ) 在(0,1) 和(1, ) ¥ 上是单调增函数，证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）对函数f x( ) 求导，结合定义域，判断函数的单调性；

（2）先求出曲线y x=ln 在 $\mathrm { A } ( x _ { 0 } , \ln x _ { 0 } )$ 处的切线l，然后求出当曲线 $y = e ^ { x }$ 切线的斜率与l斜率相等时，证明曲线 $y = e ^ { x }$ 切线 ^' l 在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可.

【详解】（1）函数f x( )的定义域为 $( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + \infty )$

$f ( x ) = \ln x - { \frac { x + 1 } { x - 1 } } \Rightarrow f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ( x - 1 ) ^ { 2 } } }$ ，因为函数f x( )的定义域为 $( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + \infty )$ ，所以 $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，因此函数 f x( ) 在(0,1) 和(1, )¥ 上是单调增函数；

当 $x \in ( 0 , 1 )$ ，时， $x \to 0 , y \to - \infty$ ，而 $f ( \frac { 1 } { e } ) = \ln \frac { 1 } { e } - \frac { \frac { 1 } { e } + 1 } { \frac { 1 } { e } - 1 } = \frac { 2 } { e - 1 } > 0$ ，显然当 $x \in ( 0 , 1 )$

，函数 f x( ) 有零点，而函数 f x( ) 在 $x \in ( 0 , 1 )$ 上单调递增，故当 $x \in ( 0 , 1 )$ 时，函数 f x( ) 有唯一的零点；

当 $x \in ( 1 , + \infty )$ 时， $f ( e ) = \ln e - \frac { e + 1 } { e - 1 } = \frac { - 2 } { e - 1 } < 0 , f ( e ^ { 2 } ) = \ln e ^ { 2 } - \frac { e ^ { 2 } + 1 } { e ^ { 2 } - 1 } = \frac { e ^ { 2 } - 3 } { e ^ { 2 } - 1 } > 0 .$

因为 $f ( e ) \cdot f ( e ^ { 2 } ) < 0$ ，所以函数f x( ) 在 $( e , e ^ { 2 } )$ 必有一零点，而函数f x( )在 $( 1 , + \infty )$ 上是单调递增，故当 $x \in ( 1 , + \infty )$ 时，函数f x( )有唯一的零点

综上所述，函数 f x( ) 的定义域(0,1) (1, )È ¥ 内有2个零点；

（2）因为 $x _ { 0 }$ 是f x( )的一个零点，所以 $f ( x _ { 0 } ) = \ln x _ { 0 } - { \frac { x _ { 0 } + 1 } { x _ { 0 } - 1 } } = 0 \Rightarrow \ln x _ { 0 } = { \frac { x _ { 0 } + 1 } { x _ { 0 } - 1 } }$ $y = \ln x \Rightarrow y ^ { \prime } = { \frac { 1 } { x } }$ ，所以曲线 $y = \ln x$ 在 $\mathrm { A } ( x _ { 0 } , \ln x _ { 0 } )$ 处的切线l的斜率 $k = \frac { 1 } { x _ { 0 } }$ ，故曲线$y = \ln x$ 在 $\mathrm { A } ( x _ { 0 } , \ln x _ { 0 } )$ 处的切线l的方程为： $y - \ln x _ { 0 } = { \frac { 1 } { x _ { 0 } } } ( x - x _ { 0 } )$ _而 ln $x _ { 0 } = \frac { x _ { 0 } + 1 } { x _ { 0 } - 1 }$ ，所以l的方程为 $y = \frac { x } { x _ { 0 } } + \frac { 2 } { x _ { 0 } - 1 }$ ，它在纵轴的截距为 $\frac { 2 } { x _ { 0 } - 1 }$

设曲线 $y = e ^ { x }$ 的切点为 $B ( x _ { 1 } , e ^ { x _ { 1 } } )$ ，过切点为 $B ( x _ { 1 } , e ^ { x _ { 1 } } )$ 切线 ^'l ， $y = e ^ { x } \Rightarrow y ^ { \prime } = e ^ { x }$ ，所以在$B ( x _ { 1 } , e ^ { x _ { 1 } } )$ 处的切线 $l ^ { ' }$ 的斜率为 $e ^ { x _ { 1 } }$ ，因此切线 ^' l 的方程为 $y = e ^ { x _ { 1 } } x + e ^ { x _ { 1 } } ( 1 - x _ { 1 } )$

当切线 ^' l 的斜率 $k _ { 1 } = e ^ { x _ { 1 } }$ 等于直线l的斜率 $k = \frac { 1 } { x _ { 0 } }$ 时，即 $e ^ { x _ { 1 } } = { \frac { 1 } { x _ { 0 } } } \Longrightarrow x _ { 1 } = - ( \ln x _ { 0 } )$

切线 ^' l 在纵轴的截距为 $b _ { 1 } = e ^ { x _ { 1 } } ( 1 - x _ { 1 } ) = e ^ { - \ln x _ { 0 } } ( 1 + \ln x _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { x _ { 0 } } } ( 1 + \ln x _ { 0 } )$ ，而 $\ln x _ { 0 } = { \frac { x _ { 0 } + 1 } { x _ { 0 } - 1 } }$ ，所以 $b _ { 1 } = \frac { 1 } { x _ { 0 } } ( 1 + \frac { x _ { 0 } + 1 } { x _ { 0 } - 1 } ) = \frac { 2 } { x _ { 0 } - 1 }$ ，直线 $l , l ^ { ' }$ 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线 $l , l ^ { ' }$ 重合，故曲线y x= ln 在 $\mathrm { A } ( x _ { 0 } , \ln x _ { 0 } )$ 处的切线也是曲线 $y = e ^ { x }$ 的切线.

【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.