在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1 D…——2023 高考数学第 15 题答案解析

【答案】12
【解析】
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解．
【详解】不妨设正方体棱长为 $2, E F$ 中点为 $O$ ，取 $A B, B B_{1}$ 中点 $G, M$ ，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的中心为 $N$ ，连接 $F G, E G, O M, O N, M N$ ，如图，

由题意可知，$O$ 为球心，在正方体中，$E F=\sqrt{F G^{2}+E G^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，
即 $R=\sqrt{2}$ ，

则球心 $O$ 到 $B B_{1}$ 的距离为 $O M=\sqrt{O N^{2}+M N^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ，

所以球 $O$ 与棱 $B B_{1}$ 相切，球面与棱 $B B_{1}$ 只有 1 个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有 1 个交点，
所以以 $E F$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 12 ．
故答案为： 12