几何法高考真题解析

14.三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt { 2 } , B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$ ，则其底面BCD的面积为体积为

14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形,平面 ARF⊥平面 ABC,平面 TCD⊥平面ABC, AB⊥BC,AB∥RS∥EF∥CD,AF∥ST∥/$B C / / E D$ ,若 AB= BC= 8, AF= CD = 4, $A R = R F = T C = T D = \frac { 5 } { 2 }$ ，则该多面体的体积为

19. 已知 $E \colon { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

(1) 求椭圆方程；

②设O为原点， $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } { \neq } 0 )$ 为椭圆上一点，直线 $x _ { 0 } x + 2 y _ { 0 } y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2 , y = - 2$ 交于A，B. $\triangle { O A M }$ 与△OBM的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$ ,比较 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } \frac { | O A | } { | O B | }$ 的大小.

7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $B D = 4 \sqrt { 2 } , D B _ { 1 } = 9$ ，则该正四棱柱的体积为

18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ${ \frac { \pi } { 3 } } , C D / / A B$ 设点M在线段OC上，证明:直线QM∥/平面PBD.

12. $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 交于C、D两点， $| A B | =$ $3 | C D |$ ,则r=

7．已知圆 $x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r>0)$ 上到直线 $y=\sqrt{3} x+2$ 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 $r$的取值范围是

6. 抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F， $A \in C$ ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若 $l _ { B F } : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|=（）

11. 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 左右焦点为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，左右顶点为 $A _ { 1 }$ ， $A _ { 2 }$ .以 $F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 $\angle N A _ { 1 } M = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，则（）

8．已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$其中所有真命题的编号是（ ）

14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，母线长分别为 $2\left(r_{2}-r_{1}\right)$ 和 $3\left(r_{2}-r_{1}\right)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{乙}}=$ $\_\_\_\_$ ．

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$
其中所有真命题的编号是（ ）

16．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求点 $M$ 到 $A B F$ 的距离．

9．一个五面体 $A B C-D E F$ ．已知 $A D / / B E / / C F$ ，且两两之间距离为 1 ．并已知 $A D=1, B E=2, C F=3$ ．则该五面体的体积为（）

17．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$ ．

（1）若 $A D \perp P B$ ，证明：$A D / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $A D \perp D C$ ，且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ ．

7．已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为

6．已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 5 ，则 $|M F|=$

9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若 $A B=25 \mathrm{~m}, B C=A D=10 \mathrm{~m}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$

16．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=4, O$ 为 $A C_{1}$ 的中点，若该正方体的棱与球 $O$ 的球面有公共点，则球 $O$ 的半径的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

18．如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}$ ．

（1）证明：平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
②设 $A B=A_{1} B, A A_{1}=2$ ，求四棱锥 $A_{1}-B B_{1} C_{1} C$ 的高．

3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为（）

8．已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}, O$ 为底面圆心，$P A, P B$ 为圆锥的母线，$\angle A O B=120^{\circ}$ ，若 $\triangle P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为

9．已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形，$A B$ 为斜边，$\triangle A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C-A B-D$ 为 $150^{\circ}$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为（ ）

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$的中点分别为 $D, E, O, A D=\sqrt{5} D O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；

（2）证明：平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F$ ；
（3）求二面角 $D-A O-C$ 的正弦值．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数，$\left.\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$ ．
（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

16．已知点 $S, A, B, C$ 均在半径为 2 的球面上，$\triangle A B C$ 是边长为 3 的等边三角形，$S A \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $S A=$ $\_\_\_\_$ ．

12．下列物体中，能够被整体放入棱长为 1 （单位： m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

14．在正四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A_{1} B_{1}=1, A A_{1}=\sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为 $\_\_\_\_$。

17．已知在 $\triangle A B C$ 中，$A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
②设 $A B=5$ ，求 $A B$ 边上的高．

9．已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O, A B$ 为底面直径，$\angle A P B=120^{\circ}, P A=2$ ，点 $C$ 在底面圆周上，且二面角 $P-A C-O$ 为 $45^{\circ}$ ，则（ ）。

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

7．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

9．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）

19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为 8 （单位： cm ）的正方形，$\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直。

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

7. 在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为 $AB, BC$ 的中点, 则 ( )

11. 双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ , 以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ , 过 $F_{1}$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M$ , $N$ 两点, 且 $\cos \angle F_{1}NF_{2} = \frac{3}{5}$ , 则 $C$ 的离心率为 ( )