（5分） ( x y - y x ) ^ 8 的展开式中…——2014 高考数学第 13 题答案解析

【考点】DA：二项式定理

【专题】5P：二项式定理

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中 $\mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { y } ^ { 2 }$ 的系数

【解答】解： $( \frac { \texttt { x } } { \sqrt { \texttt { y } } } - \frac { \texttt { y } } { \sqrt { \texttt { x } } } ) ^ { \texttt { 8 } }$ 的展开式的通项公式为 ${ \sf T } _ { { \sf r } + 1 } { = } \varsigma _ { 8 } ^ { \mathrm { r } } { \bullet { \mathrm { ~ \Lambda ~ } } } ( { \mathrm { ~ \bar { ~ } } } - 1 ) { \mathrm { ~ \bar { ~ } } } { \bullet { \mathrm { ~ \Lambda ~ } } } ( \frac { \mathrm { ~ x ~ } } { \sqrt { \mathrm { y } } } ) ^ { 8 - \mathrm { r } } { \bullet \mathrm { ~ \Lambda ~ } }$ $( \frac { y } { \sqrt { x } } ) ^ { \mathrm { { r } } } = ( \gamma _ { 8 } ^ { \mathrm { { r } } } \cdot \mathrm { ~ ( ~ - ~ 1 ) ~ } ^ { \mathrm { { r } } } \dot { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { 8 \frac { 3 \mathrm { r } } { 2 } } \bullet \frac { 3 \mathrm { r } } { \mathrm { ~ y ~ } ^ { 2 } } \mathrm { - } 4 ,$

令 $8 - \frac { 3 \mathtt { r } } { 2 } = \frac { 3 \mathtt { r } } { 2 } - 4 = 2$ ，求得 $\mathsf { r } { = } 4$

故展开式中 $\mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { y } ^ { 2 }$ 的系数为 $C _ { 8 } ^ { 4 = 7 0 }$

故答案为：70

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题