2014_退役省自主命题 (2014·理)
15．已知函数 $y=f(x)(x \in R)$ ．对函数 $y=g(x)(x \in I)$ ，定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的＂对称函数＂为 $y=h(x)(x \in I), y=h(x)$ 满足：对任意 $x \in I$ ，两个点 $(x, h(x)),(x, g(x))$ 关于点 $(x, f(x))$ 对称，若 $h(x)$ 是 $g(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ 关于 $f(x)=3 x+b$ 的＂对称函数＂，且 $h(x)>g(x)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ；
$b>2 \sqrt{10}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
已知函数 $y=f(x)(x \in R)$ ，对函数 $y=g(x)(x \in I)$ ，定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的＂对称函数＂为函数 $y=h(x)(x \in I), y=h(x)$ 满足：对任意 $x \in I$ ，两个点 $(x, h(x)),(x, g(x))$ 关于点 $(x, f(x))$ 对称，若 $h(x)$ 是 $g(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ 关于 $f(x)=3 x+b$ 的＂对称函数＂，且 $h(x)>g(x)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
答案：$b>2 \sqrt{10}$
解析：根据图像分析得，当 $f(x)=3 x+b$ 与 $g(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ 在第二象限相切时， $b=2 \sqrt{10}$ ，由 $h(x)>g(x)$ 恒成立得 $b>2 \sqrt{10}$ ．