2008_退役省自主命题 (2008·理)
21．（本小题满分 12 分）
设 $p, q$ 为实数，$\alpha, \beta$ 是方程 $x^{2}-p x+q=0$ 的两个实根，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=p$ ， $x_{2}=p^{2}-q, \quad x_{n}=p x_{n-1}-q x_{n-2}(n=3,4, \ldots)$.
（1）证明：$\alpha+\beta=p, \alpha \beta=q$ ；
（2）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）若 $p=1, q=\frac{1}{4}$ ，求 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】①由求根公式，不妨设 $\alpha<\beta$ ，得 $\alpha=\frac{p-\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}, \beta=\frac{p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}$
$$ \begin{gathered} \therefore \alpha+\beta=\frac{p-\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}+\frac{p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}=p \\ \alpha \beta=\frac{p-\sqrt{p^{2}-4 q}}{2} \times \frac{p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}=q \end{gathered} $$
> ②设 $x_{n}-s x_{n-1}=t\left(x_{n-1}-s x_{n-2}\right)$ ，则 $x_{n}=(s+t) x_{n-1}-s t x_{n-2}$ ，
由 $x_{n}=p x_{n-1}-q x_{n-2}$ 得 $\left\{\begin{array}{c}s+t=p \\ s t=q\end{array}\right.$ ，
消去 $t$ ，得 $s^{2}-p s+q=0, \therefore s$ 是方程 $x^{2}-p x+q=0$ 的根，
由题意可知，$s_{1}=\alpha, s_{2}=\beta$
> ①当 $\alpha \neq \beta$ 时，此时方程组 $\left\{\begin{array}{c}s+t=p \\ s t=q\end{array}\right.$ 的解记为 $\left\{\begin{array}{l}s_{1}=\alpha \\ t_{1}=\beta\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}s_{2}=\beta \\ t_{2}=\alpha\end{array}\right.$
$\therefore x_{n}-\alpha x_{n-1}=\beta\left(x_{n-1}-\alpha x_{n-2}\right), x_{n}-\beta x_{n-1}=\alpha\left(x_{n-1}-\beta x_{n-2}\right)$ ，
即 $\left\{x_{n}-t_{1} x_{n-1}\right\} ,\left\{x_{n}-t_{2} x_{n-1}\right\}$ 分别是公比为 $s_{1}=\alpha , s_{2}=\beta$ 的等比数列，
由等比数列性质可得 $x_{n}-\alpha x_{n-1}=\left(x_{2}-\alpha x_{1}\right) \beta^{n-2}, x_{n}-\beta x_{n-1}=\left(x_{2}-\beta x_{1}\right) \alpha^{n-2}$ ，
两式相减，得 $(\beta-\alpha) x_{n-1}=\left(x_{2}-\alpha x_{1}\right) \beta^{n-2}-\left(x_{2}-\beta x_{1}\right) \alpha^{n-2}$
$\because x_{2}=p^{2}-q, x_{1}=p, \therefore x_{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\alpha \beta, x_{1}=\alpha+\beta$
$\therefore\left(x_{2}-\alpha x_{1}\right) \beta^{n-2}=\beta^{2} \cdot \beta^{n-2}=\beta^{n},\left(x_{2}-\beta x_{1}\right) \alpha^{n-2}=\alpha^{2} \cdot \alpha^{n-2}=\alpha^{n}$
$\therefore(\beta-\alpha) x_{n-1}=\beta^{n}-\alpha^{n}$ ，
即 $\therefore x_{n-1}=\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta-\alpha}, \therefore x_{n}=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}$
> ②当 $\alpha=\beta$ 时，即方程 $x^{2}-p x+q=0$ 有重根，$\therefore p^{2}-4 q=0$ ，
即 $(s+t)^{2}-4 s t=0$ ，得 $(s-t)^{2}=0, \therefore s=t$ ，不妨设 $s=t=\alpha$ ，
由①可知
$x_{n}-\alpha x_{n-1}=\left(x_{2}-\alpha x_{1}\right) \beta^{n-2}, \because \alpha=\beta, \therefore x_{n}-\alpha x_{n-1}=\left(x_{2}-\alpha x_{1}\right) \alpha^{n-2}=\alpha^{n}$
即 $\therefore x_{n}=\alpha x_{n-1}+\alpha^{n}$ ，等式两边同时除以 $\alpha^{n}$ ，得 $\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}=\frac{x_{n-1}}{\alpha^{n-1}}+1$ ，即 $\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}-\frac{x_{n-1}}{\alpha^{n-1}}=1$
∴ 数列 $\left\{\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}\right\}$ 是以 1 为公差的等差数列，
$\therefore \frac{x_{n}}{\alpha^{n}}=\frac{x_{1}}{\alpha}+(n-1) \times 1=\frac{2 \alpha}{\alpha}+n-1=n+1, \therefore x_{n}=n \alpha^{n}+\alpha^{n}$
综上所述，$x_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha},(\alpha \neq \beta) \\ n \alpha^{n}+\alpha^{n},(\alpha=\beta)\end{array}\right.$
> （3）把 $p=1, q=\frac{1}{4}$ 代入 $x^{2}-p x+q=0$ ，得 $x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$ ，解得 $\alpha=\beta=\frac{1}{2}$
$$ \begin{aligned} & \therefore x_{n}=n \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ & S_{n}=\left(\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)+\left(\left(\frac{1}{2}\right)+2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+n \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) \\ & =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\left(\frac{1}{2}\right)+2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+n \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) \\ & =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ & =3-(n+3)\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{aligned} $$