（本小题满分 13 分） 如图， A E 平面 A B C…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
如图，$A E \perp$ 平面 $A B C D, C F / / A E, A D / / B C, A D \perp A B, A B=A D=1, A E=B C=2$ ．

（I）求证：$B F / /$ 平面 $A D E$ ；
（II）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；
（III）若二面角 $E-B D-F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长．
【答案】（I）见证明；（II）$\frac{4}{9}$（III）$\frac{8}{7}$

【解析】

【分析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
（I）利用直线 $B F$ 的方向向量和平面 $A D E$ 的法向量的关系即可证明线面平行；
（II）分别求得直线 $C E$ 的方向向量和平面 $B D E$ 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
（III）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 $C F$ 长度的方程，解方程可得 $C F$ 的长度．

【详解】依题意，可以建立以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}$ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得 $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,2,0), D(0,1,0), E(0,0,2)$ ．

设 $C F=h(h>0)$ ，则 $F(1,2, h)$ ．
（ I ）依题意， $\overrightarrow{A B}=(1,0,0)$ 是平面 $A D E$ 的法向量，
又 $\overrightarrow{B F}=(0,2, h)$ ，可得 $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{A B}=0$ ，
又因为直线 $B F \not \subset$ 平面 $A D E$ ，所以 $B F / /$ 平面 $A D E$ ．
（II）依题意， $\overrightarrow{B D}=(-1,1,0), \quad \overrightarrow{B E}=(-1,0,2), \quad \overrightarrow{C E}=(-1,-2,2)$ ，
设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 为平面 $B D E$ 的法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B D}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B E}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-x+y=0 \\ -x+2 z=0\end{array}\right.$ ，
不妨令 $Z=1$ ，可得 $\vec{n}=(2,2,1)$ ，
因此有 $\cos \langle\overrightarrow{C E}, \vec{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{C E} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{C E}||\vec{n}|}=-\frac{4}{9}$ ．
所以，直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{9}$ ．
（III）设 $\vec{m}=(x, y, z)$ 为平面 $B D F$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{B D}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{B F}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-x+y=0 \\ 2 y+h z=0\end{array}\right.$ ．
不妨令 $y=1$ ，可得 $\vec{m}=\left(1,1,-\frac{2}{h}\right)$ ．
由题意，有 $|\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle|=\frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| \times|\vec{n}|}=\frac{\left|4-\frac{2}{h}\right|}{3 \sqrt{2+\frac{4}{h^{2}}}}=\frac{1}{3}$ ，解得 $h=\frac{8}{7}$ ．
经检验，符合题意。
所以，线段 $C F$ 的长为 $\frac{8}{7}$ ．
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．