2008_退役省自主命题 (2008·理)
22．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\frac{3}{5}, a_{n+1}=\frac{3 a_{n}}{2 a_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：对任意的 $x>0, a_{n} \geqslant \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right), n=1,2, \cdots$ ；
（III）证明：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}>\frac{n^{2}}{n+1}$ ．
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解答】
解法一：（ I ）$\because a_{n+1}=\frac{3 a_{n}}{2 a_{n}+1}, \therefore \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3 a_{n}}, \therefore \frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)$ ，
又 $\frac{1}{a_{n}}-1=\frac{2}{3}, \therefore\left(\frac{1}{a_{n}}-1\right)$ 是以 $\frac{2}{3}$ 为首项，$\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列．
$\therefore \frac{1}{a_{n}}-1=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^{n-1}}=\frac{2}{3^{n}}, \quad \therefore a_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+2}$ ．
（II）由（I）知 $a_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+2}>0$ ，
$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right)$
$=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}+1-1-x\right)$
$=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left[\frac{1}{a_{n}}-(1+x)\right]$
$=-\frac{1}{a_{n}} \cdot \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{2}{1+x}$
$=-\frac{1}{a_{n}}\left(\frac{1}{1+x}-a_{n}\right)^{2}+a_{n} \leqslant a_{n}, \quad \therefore$ 原不等式成立．
（III）由（II）知，对任意的 $x>0$ ，有
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} \geqslant \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3}-x\right)+\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{2}}-x\right)+\cdots+\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right)$
$=\frac{n}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\cdots+\frac{2}{3^{n}}-n x\right)$.
∴ 取 $x=\frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\cdots+\frac{2}{3^{n}}\right)=\frac{\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}{n\left(1-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$ ，
则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} \geqslant \frac{n}{1+\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)}=\frac{n^{2}}{n+1-\frac{1}{3^{n}}}>\frac{n^{2}}{n+1}$ ．
∴ 原不等式成立．
解法二：（ I ）同解法一。
（II）设 $f(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right)$ ，
则 $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}-\frac{-(1+x)^{2}-\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right) \cdot 2(1+x)}{(1+x)^{2}}=\frac{2\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right)}{(1+x)^{2}}$
$\because x>0$,
∴ 当 $x<\frac{2}{3^{n}}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；当 $x>\frac{2}{3^{n}}$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，
∴ 当 $x=\frac{2}{3^{n}}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $f\left(\frac{2}{3^{n}}\right)=\frac{1}{1+\frac{2}{3^{n}}}=a_{n}$ ．
∴ 原不等式成立。
（III）同解法一。
B 卷选择题答案：