已知A、B分别为椭圆E： x ^ 2 a ^ 2 + y…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】① ${ \frac { x ^ { 2 } } { 9 } } + y ^ { 2 } = 1$ ；（2）证明详见解析.

【解析】

【分析】

> ①由已知可得：A(-a,0)，

B(a,0)，G(0,1)，即可求得 ${ \overrightarrow { A G } } \cdot { \overrightarrow { G B } } = a ^ { 2 } - 1$ ，结合已知即可求得： $\boldsymbol a ^ { 2 } = 9$ ，问题得解.

> ②设 $P ( 6 , y _ { 0 } )$ ，可得直线AP的方程为： $y = \frac { y _ { 0 } } { 9 } \big ( x + 3 \big )$ ，联立直线AP的方程与椭圆方

程即可求得点C的坐标为 $\left( { \frac { - 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 7 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } } , { \frac { 6 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } } \right)$ ，同理可得点D的坐标为

$\left( \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } , \frac { - 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } \right)$ ，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：

$y = { \frac { 4 y _ { 0 } } { 3 \left( 3 - { y _ { 0 } } ^ { 2 } \right) } } { \left( x - { \frac { 3 } { 2 } } \right) }$ ，命题得证.

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + y ^ { 2 } = 1 ( a > 1 )$ 可得：A(−a,0)，B(a,0)，G(0,1)
$\therefore { \overrightarrow { A G } } = \left( a , 1 \right) , { \overrightarrow { G B } } = \left( a , - 1 \right)$
$\therefore { \overrightarrow { A G } } \cdot { \overrightarrow { G B } } = a ^ { 2 } - 1 = 8 \ , \ \therefore \ a ^ { 2 } = 9$
$\therefore$ 椭圆方程为： ${ \frac { x ^ { 2 } } { 9 } } + y ^ { 2 } = 1$

（2）证明：设 $P ( 6 , y _ { 0 } )$

则直线AP的方程为： $y = { \frac { y _ { 0 } - 0 } { 6 - ( - 3 ) } } { \big ( } x + 3 { \big ) }$ ，即： $y = \frac { y _ { 0 } } { 9 } \big ( x + 3 \big )$

联立直线AP的方程与椭圆方程可得： $\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } } + y ^ { 2 } = 1 } } \\ { { \displaystyle y = { \frac { y _ { 0 } } { 9 } } \big ( x + 3 \big ) } } \end{array} \right.$ ，整理得：

$\left( { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 \right) x ^ { 2 } + 6 { y _ { 0 } } ^ { 2 } x + 9 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 8 1 = 0$ ，解得：x = -3或 $x = \frac { - 3 y _ { 0 } ^ { ~ 2 } + 2 7 } { y _ { 0 } ^ { ~ 2 } + 9 }$

将 $x = \frac { - 3 y _ { 0 } ^ { ~ 2 } + 2 7 } { y _ { 0 } ^ { ~ 2 } + 9 }$ 代入直线 $y = \frac { y _ { 0 } } { 9 } \big ( x + 3 \big )$ 可得： $y = \frac { 6 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 }$

所以点C的坐标为 $\left( { \frac { - 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 7 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } } , { \frac { 6 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } } \right)$

同理可得：点D的坐标为 $\left( \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } , \frac { - 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } \right)$

$\therefore$ 直线CD的方程为： $y - \left( \frac { - 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } \right) = \frac { \displaystyle \frac { 6 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } - \left( \frac { - 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } \right) } { \displaystyle \frac { - 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 7 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 9 } - \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } } \left( x - \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } \right) ,$ 整理可得： $y + { \frac { 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } } = { \frac { 8 y _ { 0 } \left( { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 3 \right) } { 6 \left( 9 - { y _ { 0 } } ^ { 4 } \right) } } \left( x - { \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } } \right) = { \frac { 8 y _ { 0 } } { 6 \left( 3 - { y _ { 0 } } ^ { 2 } \right) } } \left( x - { \frac { 3 { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } + 1 } } \right)$ 整理得： $y = { \frac { 4 y _ { 0 } } { 3 \left( 3 - { y _ { 0 } } ^ { 2 } \right) } } x + { \frac { 2 y _ { 0 } } { { y _ { 0 } } ^ { 2 } - 3 } } = { \frac { 4 y _ { 0 } } { 3 \left( 3 - { y _ { 0 } } ^ { 2 } \right) } } { \left( x - { \frac { 3 } { 2 } } \right) }$
故直线CD过定点 $\left( { \frac { 3 } { 2 } } , 0 \right)$

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.