（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】8E：数列的求和

【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列

**方法一**：由数列的性质，求得数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式及前n项和，可知当N为 $\textstyle { \frac { \ n ( { \mathrm { n } } + 1 ) } { 2 } }$ 时（n∈N），数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前N项和为数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和，即为 $2 ^ { n + }$ $^ 1 - { \mathsf n } - 2$ ，容易得到N＞100时， $\mathsf { n } { \geq } 1 4$ ，分别判断，即可求得该款软件的激活码；

**方法二**：由题意求得数列的每一项，及前n项和 $S _ { n } = 2 ^ { n + 1 } - 2 - n$ ，及项数，由题意可知： $2 ^ { { \mathsf { n } } + 1 }$ 为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值

【解答】解：设该数列为 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ ，设 $\cdot 6 _ { n } = \bar { \mathsf { a } } _ { \frac { ( \mathtt { r } - 1 ) \mathtt { n } } { 2 } + 1 } { } ^ { + } \frac { * _ { \mathtt { m } ( \mathtt { n } + 1 ) } } { 2 } = 2 ^ { \mathtt { n } + 1 } - 1$ ，（n∈N ），则 $\sum \limits _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } = \sum \limits _ { i = 1 } ^ { n ( n + 1 ) } a _ { i }$

由题意可设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前N项和为 $S _ { \mathsf { N } }$ ，数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和为 ${ \sf T } _ { \sf n }$ ，则 ${ \sf T } _ { \sf n } { = } 2 ^ { 1 } - 1 { + } 2 ^ { 2 }$ $\mathtt { - } 1 \mathtt { + } \mathtt { \_ { n \mathtt { - } } } + 2 \mathtt { { n } } \mathtt { + } 1 \mathtt { - } 1 \mathtt { = } 2 \mathtt { { n } } \mathtt { + } 1 \mathtt { \ - } \mathtt { \_ { n \mathtt { - } } } 2$

可知当N为 $\textstyle { \frac { \left( { \mathrm { n } } + 1 \right) } { 2 } }$ 时（n∈N），数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前N项和为数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和，即为 $1 2 ^ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { n } - 2$

容易得到 $\mathsf { N } { > } 1 0 0$ 时，n≥14，
A项，由 $\frac { 2 9 \times 3 0 } { 2 } = 4 3 5$ $4 4 0 = 4 3 5 + 5$ ，可知 $\vert \mathsf { S } _ { 4 4 0 } = \mathsf { T } _ { 2 9 } + \mathsf { b } _ { 5 } = 2 ^ { 3 0 } - 2 9 - 2 + 2 ^ { 5 } - 1 = 2 ^ { 3 0 }$ ，故A项符合题意

B项，仿上可知 $\frac { 2 5 \times 2 6 } { 2 } = 3 2 5$ ，可知 $\mathsf { S } _ { 3 3 0 } = \mathsf { T } _ { 2 5 } + \mathsf { b } _ { 5 } = 2 ^ { 2 6 } - 2 5 - 2 + 2 ^ { 5 } - 1 = 2 ^ { 2 6 } + 4$ ，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意

C项，仿上可知 $\frac { 2 0 \times 2 1 } { 2 } = 2 1 0$ ，可知 $\mathsf { S } _ { 2 2 0 } \mathsf { = } \mathsf { T } _ { 2 0 } \mathsf { + } \mathsf { b } _ { 1 0 } \mathsf { = } 2 ^ { 2 1 } \cdot 2 0 \mathrm { ~ - ~ } 2 \mathsf { + } 2 ^ { 1 0 } \mathrm { ~ - ~ } 1 \mathsf { = } 2 ^ { 2 1 } \mathsf { + } 2 ^ { 1 0 } \mathrm { ~ - ~ } 2 3$

显然不为2的整数幂，故C项不符合题意

D项，仿上可知 $\frac { 1 4 \times 1 5 } { 2 } = 1 0 5$ ，可知 $\mathsf { S } _ { 1 1 0 } = \mathsf { T } _ { 1 4 } + \mathsf { b } _ { 5 } = 2 ^ { 1 5 } - 1 4 - 2 ^ { + } 2 ^ { 5 } - 1 = 2 ^ { 1 5 } + 1 5$ ，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意

故选A

**方法二**：由题意可知： ， $\frac { 2 ^ { 0 } , 2 ^ { 1 } } { \overleftrightarrow { \mathbf { \mathscr { G } } } } , \frac { 2 ^ { 1 } } { \overleftrightarrow { \mathbf { \mathscr { G } } } } , \frac { 2 ^ { 0 } , 2 ^ { 1 } , 2 ^ { 2 } } { \overleftrightarrow { \mathbf { \mathscr { G } } } } ,$ $\frac { 2 ^ { 0 } , 2 ^ { 1 } , 2 ^ { 2 } , \cdots , 2 ^ { n - 1 } } { 2 ^ { 5 } \pi \pi \pi } ,$

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为： $2 ^ { 1 } - 1 , 2 ^ { 2 } - 1 , 2 ^ { 3 } - 1 , . . . , 2 ^ { { \mathfrak { n } } }$ ﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为 $N = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac { ( 1 + n ) n } { 2 }$
所有项数的和为 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } \colon \ : 2 ^ { 1 } - \ : 1 ^ { + } 2 ^ { 2 } - \ : 1 ^ { + } 2 ^ { 3 } - \ : 1 ^ { + } . . . ^ { + } 2 ^ { \mathsf { n } } - 1 = \ : \left( \ : 2 ^ { 1 + } 2 ^ { 2 + } 2 ^ { 3 + } . . . ^ { + } 2 ^ { \mathsf { n } } \right) \ : - \ : \mathsf { n } =$ $\frac { 2 ( 1 - 2 ^ { n } ) } { 1 - 2 } - n = 2 ^ { n + 1 } - 2 - n ,$
由题意可知：2ⁿ+¹为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则 $\textcircled { 1 } 1 + 2 + ( - 2 - n ) = 0$ ，解得：n=1，总共有 $\frac { ( 1 + 1 ) \times 1 } { 2 } + 2 = 3$ ，不满足 $N { > } 1 0 0$
② $1 + 2 + 4 + ( - 2 - n ) = 0$ ，解得：n=5，总共有 $\frac { ( 1 + 5 ) \times 5 } { 2 } + 3 = 1 8$ ，不满足 $N { > } 1 0 0$
③ $1 + 2 + 4 + 8 + ( - 2 - n ) = 0$ ，解得：n=13，总共有 $\frac { ( 1 + 1 3 ) \times 1 3 } { 2 } + 4 = 9 5$ ，不满足N$> 1 0 0 $
④ $1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + ( - 2 - n ) = 0$ ，解得：n=29，总共有 $\frac { ( 1 + 2 9 ) \times 2 9 } { 2 } + 5 = 4 4 0$ ，满足${ \mathsf { N } } { > } 1 0 0 ;$

∴该款软件的激活码440

故选：A

【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题