（12分）已知各项都为正数的数列 a_ n 满足 a_ 1…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令 $n=1$ 可得 $a_{1}{ }^{2}-\left(2 a_{2}-1\right) a_{1}-2 a_{2}=0$ ，将 $a_{1}=1$ 代入可得 $a_{2}$ 的值，进而令 $n=2$ 可得 $a_{2}{ }^{2}-\left(2 a_{3}-1\right) a_{2}-2 a_{3}=0$ ，将 $a_{2}=\frac{1}{2}$ 代入计算可得 $a_{3}$ 的值，即可得答案；
（2）根据题意，将 $a_{n}{ }^{2}-\left(2 a_{n+1}-1\right) a_{n}-2 a_{n+1}=0$ 变形可得（ $\left.a_{n}-2 a_{n+1}\right) ~\left(a_{n}+a_{n+1}\right. )=0$ ，进而分析可得 $a_{n}=2 a_{n+1}$ 或 $a_{n}=-a_{n+1}$ ，结合数列各项为正可得 $a_{n}=2 a_{n+1}$ ，结合等比数列的性质可得 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}=1$ ，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案。

【解答】解：（1）根据题意，$a_{n}{ }^{2}-\left(2 a_{n+1}-1\right) a_{n}-2 a_{n+1}=0$ ，
当 $n=1$ 时，有 $a_{1}{ }^{2}-\left(2 a_{2}-1\right) a_{1}-2 a_{2}=0$ ，
而 $a_{1}=1$ ，则有 $1-\left(2 a_{2}-1\right)-2 a_{2}=0$ ，解可得 $a_{2}=\frac{1}{2}$ ，
当 $n=2$ 时，有 $a_{2}{ }^{2}-\left(2 a_{3}-1\right) a_{2}-2 a_{3}=0$ ，
又由 $\mathrm{a}_{2}=\frac{1}{2}$ ，解可得 $\mathrm{a}_{3}=\frac{1}{4}$ ，
故 $\mathrm{a}_{2}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{3}=\frac{1}{4}$ ；
（2）根据题意，$a_{n}{ }^{2}-\left(2 a_{n+1}-1\right) a_{n}-2 a_{n+1}=0$ ，
变形可得 $\left(a_{n}-2 a_{n+1}\right)\left(a_{n}+1\right)=0$ ，
即有 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}$ 或 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-1$ ，
又由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项都为正数，
则有 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}$ ，
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}=1$ ，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，
则 $a_{n}=1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，
故 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}$ ．
【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的关系