数列的概念与简单表示法　·　历年高考数学真题与解析

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

11．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}, S_{n} \in\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为

13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{2}=4, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，则 $\mathrm{a}_{1}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{S}_{5}=$ $\_\_\_\_$。

14．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \hat{\imath} \mathbf{N}^{*}, S_{n} \hat{\imath}\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

17．（12分）已知各项都为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n}{ }^{2}-\left(2 a_{n+1}-1\right) a_{n}-2 a_{n} { }_{+1}=0$.
（1）求 $a_{2}, a_{3}$ ；

（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

16．（5分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=-1, a_{n+1}=S_{n+1} S_{n}$ ，则 $S_{n}=-\frac{1}{n}-$

16．（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_{n}}, a_{8}=2$ ，则 $a_{1}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$ ．

17．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}, n \in N^{*}$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对任意 $n>1$，都有 $m \in N^{*}$，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列．

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$ ，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

17．在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{n}=2^{n}-1$ ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
$a_{i, j}=a_{i} \cdot a_{j}+a_{i}+a_{j}, \quad(i=1,2, \cdots, 7 ; j=1,2, \cdots, 12) \quad$ 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为

23．（3 分 +6 分 +9 分）给定常数 $c>0$ ，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$ ，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots$ 满足 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n \in N^{*}$ ．
（1）若 $a_{1}=-c-2$ ，求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；（2）求证：对任意 $n \in N^{*}, a_{n+1}-a_{n} \geq c$ ，；
（3）是否存在 $a_{1}$ ，使得 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}, \cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_{1}$ ，若不存在，说明理由．

17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数 $1,3,6,10, \cdots$ 记为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ ，可以推测：

（I） $\mathrm{b}_{2012}$ 是数列 $\{\mathrm{an}\}$ 中的第 $\_\_\_\_$项；
（II） $\mathrm{b}_{2 \mathrm{k}-1}=$ $\_\_\_\_$。（用 k 表示）

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_{n}$ 成立的最小正整数 $n$ ．

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1}=a, a_{n+1}=S_{n}+3^{n}, n \in N^{*}$ ．
（I）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $a_{n+1} \geq a_{n}, n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围．

5．在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ，则 $a_{n}=$